《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

11. 已知二次函数 $ y = a ( x - 1 ) ^ { 2 } - a ( a ≠ 0 ) $，当 $ - 1 ≤ x ≤ 4 $ 时，$ y $ 的最小值为 $ - 4 $，则 $ a $ 的值为(D)

A.$ \frac { 1 } { 2 } $ 或 4
B.$ \frac { 4 } { 3 } $ 或 $ - \frac { 1 } { 2 } $
C.$ - \frac { 4 } { 3 } $ 或 4
D.$ - \frac { 1 } { 2 } $ 或 4

答案： 11. D

12. (2024·成都改编)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，$ A ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ) $，$ B ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $，$ C ( x _ { 3 }, y _ { 3 } ) $ 是二次函数 $ y = - x ^ { 2 } + 4 x - 1 $ 图像上的三点. 若 $ 0 ＜ x _ { 1 } ＜ 1 $，$ x _ { 2 } ＞ 4 $，则 $ y _ { 1 } $$＞$ $ y _ { 2 } $(填“$ ＞ $”或“$ ＜ $”)；若对于 $ m ＜ x _ { 1 } ＜ m + 1 $，$ m + 1 ＜ x _ { 2 } ＜ m + 2 $，$ m + 2 ＜ x _ { 3 } ＜ m + 3 $，存在 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 3 } ＜ y _ { 2 } $，则 $ m $ 的取值范围是$-\frac{1}{2}＜m＜1$.

答案： 12. $＞$ $-\frac{1}{2}＜m＜1$

13. 已知二次函数 $ y = 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 1 $ 的图像为抛物线 $ C $.
(1)抛物线 $ C $ 的顶点坐标为$(1,1)$；
(2)将抛物线 $ C $ 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到抛物线 $ C _ { 1 } $，判断抛物线 $ C _ { 1 } $ 是否经过点 $ P ( 2, 3 ) $，并说明理由；
(3)当 $ - 2 ≤ x ≤ 3 $ 时，求该二次函数的函数值 $ y $ 的取值范围.

答案： 13.
(1) $(1,1)$
(2) 解:由题意得抛物线 $C_{1}$ 的函数表达式为 $y = 2(x - 1 + 1)^{2}+1 + 2$，即 $y = 2x^{2}+3$。
把 $x = 2$ 代入，得 $y = 2×2^{2}+3 = 11≠3$，
$\therefore$ 抛物线 $C_{1}$ 不经过点 $P(2,3)$。
(3) 解: $\because y = 2(x - 1)^{2}+1$，$\therefore$ 当 $x = 1$ 时，$y$ 取最小值 1，当 $x ＞ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x ＜ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。当 $x = -2$ 时，$y = 19$；当 $x = 3$ 时，$y = 9$，
$\therefore$ 当 $-2≤ x≤3$ 时，该二次函数的函数值 $y$ 的取值范围为 $1≤ y≤19$。

14. 如图，二次函数 $ y = - ( x - h ) ^ { 2 } + 1 $（$ h $ 为常数）的图像与 $ y $ 轴交于点 $ A $.
(1)若该二次函数的图像经过点 $ B ( 2, 1 ) $，求它的对称轴及顶点坐标.
(2)设点 $ A $ 的纵坐标为 $ y _ { A } $.
①求 $ y _ { A } $ 的最大值；
②在①的条件下，该二次函数图像上有两点 $ ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ) $，$ ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $，且 $ x _ { 1 } ＞ x _ { 2 } ＞ 0 $，试比较 $ y _ { 1 } $，$ y _ { 2 } $ 的大小.
(3)点 $ C $ 的坐标为 $ ( - 5, 0 ) $，若线段 $ OC $ 被该二次函数的图像分成 $ 1 : 4 $ 两部分，求 $ h $ 的值.
]

答案： 14. 解:
(1) $\because$ 二次函数的图像经过点 $B(2,1)$，
$\therefore 1 = -(2 - h)^{2}+1$，解得 $h = 2$，$\therefore y = -(x - 2)^{2}+1$，
$\therefore$ 对称轴是直线 $x = 2$，顶点坐标为 $(2,1)$。
(2) ① $\because$ 二次函数的图像与 $y$ 轴交于点 $A$，$\therefore A(0,y_{A})$。
在 $y = -(x - h)^{2}+1$ 中，当 $x = 0$ 时，$y_{A}=-h^{2}+1$。
$\because -1 ＜ 0$，$\therefore$ 当 $h = 0$ 时，$y_{A}$ 有最大值 1。
② $\because h = 0$，$\therefore y = -x^{2}+1$，
$\therefore$ 在 $y$ 轴右侧，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，
$\therefore$ 当 $x_{1}＞x_{2}＞0$ 时，$y_{1}＜y_{2}$。
(3) $\because C(-5,0)$，
$\therefore$ 把线段 $OC$ 分成 $1:4$ 两部分的点的坐标为 $(-1,0)$ 或 $(-4,0)$。把 $(-1,0)$ 代入 $y = -(x - h)^{2}+1$，得 $0 = -(-1 - h)^{2}+1$，解得 $h = 0$ 或 $h = -2$ (此时 $OC$ 被分成三部分，不符合题意，舍去)。把 $(-4,0)$ 代入 $y = -(x - h)^{2}+1$，得 $0 = -(-4 - h)^{2}+1$，解得 $h = -5$ 或 $h = -3$ (此时 $OC$ 被分成三部分，不符合题意，舍去)，$\therefore h = 0$ 或 $h = -5$。