《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

8. 如图，抛物线 $ y _ { 1 } = x ^ { 2 } + b x + c $ 与直线 $ y _ { 2 } = x $ 交于两点，则不等式 $ y _ { 1 } ≤ y _ { 2 } $ 的解集为$ 1≤x≤3 $.

答案： 8. $ 1≤x≤3 $

9. (2024·徐州三模)已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x - 3 ( a ＞ 0 ) $.
(1)求证：该函数的图像与 $ x $ 轴总有两个公共点；
(2)若该函数图像与 $ x $ 轴的两个交点坐标分别为 $ ( x _ { 1 }, 0 ) $，$ ( x _ { 2 }, 0 ) $，且 $ x _ { 1 } = - 3 x _ { 2 } $，求证：$ b ^ { 2 } - 4 a = 0 $；
(3)若 $ A ( t, y _ { 1 } ) $，$ B ( - 4, y _ { 2 } ) $，$ C ( t + 2, y _ { 1 } ) $ 都在该二次函数图像上，且 $ - 3 ＞ y _ { 2 } ＞ y _ { 1 } $，结合函数图像，写出 $ t $ 的取值范围是$ -4＜t＜-3 $ 或 $ t＜-6 $.

答案： 9.
(1) 证明：
∵ $ b^{2}-4a×(-3)=b^{2}+12a $，$ a＞0 $，
∴ $ b^{2}+12a＞0 $，
∴该函数的图像与 $ x $ 轴总有两个公共点.
(2) 解：
∵函数图像与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (x_{1},0) $，$ (x_{2},0) $，
∴ $ x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} $，$ x_{1}·x_{2}=-\frac{3}{a} $.
∵ $ x_{1}=-3x_{2} $，
∴ $ -3x_{2}+x_{2}=-\frac{b}{a} $，
∴ $ x_{2}=\frac{b}{2a} $，
∴ $ x_{1}=-\frac{3b}{2a} $，
∴ $ -\frac{3b}{2a}·\frac{b}{2a}=-\frac{3}{a} $，
∴ $ b^{2}=4a $，
∴ $ b^{2}-4a=0 $.
(3) $ -4＜t＜-3 $ 或 $ t＜-6 $

10. 设二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x - ( a + b ) ( a, b $ 是常数，$ a ≠ 0 ) $.
（1）判断该二次函数的图像与 $ x $ 轴的交点的个数，并说明理由；
（2）若该二次函数的图像经过 $ A ( - 1, 4 ) $，$ B ( 0, - 1 ) $，$ C ( 1, 1 ) $ 三个点中的两个点，求该二次函数的表达式；
（3）若 $ a + b ＜ 0 $，点 $ P ( 2, m ) ( m ＞ 0 ) $ 在该二次函数图像上，求证：$ a ＞ 0 $.

答案： 10.
(1) 解：交点个数为 1 或 2. 理由：令 $ y=0 $，则 $ 0=ax^{2}+bx-(a+b) $.
∵ $ b^{2}-4a[-(a+b)]=b^{2}+4ab+4a^{2}=(2a+b)^{2}≥0 $，
∴方程有两个不相等的实数根或两个相等的实数根，
∴该二次函数的图像与 $ x $ 轴的交点的个数为 1 或 2.
(2) 解：当 $ x=1 $ 时，$ y=a+b-(a+b)=0 $，
∴该二次函数的图像不经过点 C.
把 $ A(-1,4) $，$ B(0,-1) $ 分别代入二次函数表达式，得 $ \begin{cases}4=a-b-(a+b)\\-1=-(a+b)\end{cases} $，解得 $ \begin{cases}a=3\\b=-2\end{cases} $，
∴该二次函数的表达式为 $ y=3x^{2}-2x-1 $.
(3) 证明：当 $ x=2 $ 时，$ m=4a+2b-(a+b)=3a+b＞0 $ ①，
∵ $ a+b＜0 $，
∴ $ -a-b＞0 $ ②，
① + ②，得 $ 2a＞0 $，
∴ $ a＞0 $.