《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

10. 已知二次函数 $ y = (a^{2} + 2a - 3)x^{2} $ 的图像开口向下，且经过点 $ (1,3a + 3) $，则 $ a $ 的值为(C)

A.$ - 3 $ 或 $ 2 $
B.$ 3 $
C.$ - 2 $
D.$ - 2 $ 或 $ 3 $

答案： 10. C

11. 关于抛物线 $ y = - x^{2} $，有下列说法：
① 抛物线开口向下，顶点是原点；
② 当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
③ 当 $ - 1 ＜ x ＜ 2 $ 时，$ - 4 ＜ y ＜ - 1 $；
④ 若 $ (m,p) $，$ (n,p) $ 是该抛物线上的两点，则 $ m + n = 0 $.
其中正确的有(C)

A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

答案： 11. C

12. 二次函数 $ y = \sqrt{3}x^{2} $ 的图像如图所示，点 $ A $ 在 $ y $ 轴的正半轴上，点 $ B $，$ C $ 在二次函数 $ y = \sqrt{3}x^{2} $ 的图像上，若四边形 $ OBAC $ 为菱形，且 $ ∠ ACO = 120^{\circ} $，则菱形 $ OBAC $ 的面积为$ 2 \sqrt { 3 } $.

答案： 12. $ 2 \sqrt { 3 } $

13. 如图，$ P $ 为抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^{2} $ 上一动点，且点 $ P $ 不与点 $ O $ 重合. 若直线 $ l $ 经过点 $ N(0,-1) $，且平行于 $ x $ 轴，过点 $ P $ 作 $ PM ⊥ l $ 于点 $ M $.
(1) 问题探究：如图①，在 $ y $ 轴上是否存在一定点 $ F(PF $ 与 $ x $ 轴不平行)，使得 $ PM = PF $ 恒成立？若存在，求出点 $ F $ 的坐标；若不存在，请说明理由.
(2) 问题解决：如图②，若点 $ Q $ 的坐标为 $ (1,5) $，求 $ QP + PF $ 的最小值.

答案：
13. 解：
(1)存在一定点 $ F $，使得 $ P M = P F $恒成立。如答图，过点 $ P $作 $ P B ⊥ y $轴于点 $ B $。
设点 $ P $的坐标为 $ ( a, \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } ) ( a ≠ 0 ) $，则 $ P M = P F = \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } + 1 $，$ P B = | a | $。在 $ \mathrm { Rt } △ P B F $中，$ B F = \sqrt { P F ^ { 2 } - P B ^ { 2 } } = \sqrt { ( \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - a ^ { 2 } } = \left| \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } - 1 \right| $。
$ \because O B = \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } $，$ \therefore O F = 1 $，$ \therefore $点 $ F $的坐标为 $ ( 0, 1 ) $。

(2)由
(1)知，$ P M = P F $，$ \therefore Q P + P F = Q P + P M $，
$ \therefore $当 $ Q $，$ P $，$ M $三点共线时，$ Q P + P M $有最小值，最小值为点 $ Q $的纵坐标与点 $ M $的纵坐标的绝对值的和，
$ \therefore Q P + P F $的最小值为 6。