《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

10. 已知 $\cosα=\frac{3}{4}$，则锐角 $α$ 的取值范围是(B)

A.$0^{\circ}＜α＜30^{\circ}$
B.$30^{\circ}＜α＜45^{\circ}$
C.$45^{\circ}＜α＜60^{\circ}$
D.$60^{\circ}＜α＜90^{\circ}$

答案： 10.B

11. 已知 $α$，$β$ 均为锐角，且满足 $\left|\sinα-\frac{1}{2}\right|+\sqrt{(\tanβ-1)^2}=0$，则 $α+β=$75°。

答案： 11.75°

12. 如图，$\odot O$ 的半径为 2，弦 $AB=2\sqrt{3}$，则 $∠ AOB$ 的度数为120°。

答案： 12.120°

13. 求满足下列等式的锐角 $θ$ 的度数：
（1）$\tan^2θ+\tanθ-2=0$；
（2）$2\cos^2θ-5\cosθ+2=0$。

答案： 13.解:
(1)
∵tan²θ+tanθ−2=0,
　即(tanθ+2)(tanθ−1)=0,
∴tanθ=−2(舍去)或tanθ=1,
∴θ=45°.
(2)
∵2cos²θ−5cosθ+2=0,
　即(2cosθ−1)(cosθ−2)=0,
∴cosθ=$\frac{1}{2}$或cosθ=2(舍去),
∴θ=60°.

14. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$CD⊥ AB$ 于点 $D$，$AD=9$，$BD=3$，求 $∠ B$ 的度数。

答案： 14.解:
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠B.
　　又
∵∠ADC=∠BDC,
∴△ACD∽△CBD,
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{CD}$.
∵BD=3,AD=9,
∴$\frac{CD}{3}$=$\frac{9}{CD}$,
∴CD=3√3(负值已舍去).在Rt△BCD中,tanB=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=√3,
∴∠B=60°.

15. 在 $△ ABC$ 中，已知 $∠ A=60^{\circ}$，$∠ B$ 为锐角，且 $\tan A$，$\cos B$ 恰好为一元二次方程 $2x^2-3mx+3=0$ 的两个实数根。求 $m$ 的值并判断 $△ ABC$ 的形状。

答案： 15.解:
∵∠A=60°,
∴tanA=$\sqrt{3}$.把x=$\sqrt{3}$代入方程2x²−3mx+3=0,得2×($\sqrt{3}$)²−3$\sqrt{3}$m+3=0,解得m=$\sqrt{3}$.把m=$\sqrt{3}$代入方程2x²−3mx+3=0,得2x²−3$\sqrt{3}$x+3=0.
　解得x₁=$\sqrt{3}$,x₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴锐角∠B=30°.
∴∠C=180°−∠A−∠B=90°.
∴△ABC是直角三角形.

16. 如图，$△ ABC$ 内接于 $\odot O$，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$BD⊥ AB$，交 $AC$ 的延长线于点 $D$。
（1）$E$ 为 $BD$ 的中点，连接 $CE$，求证：$CE$ 是 $\odot O$ 的切线；
（2）若 $AC=3CD$，求 $∠ A$ 的度数。

答案：
16.
(1)证明:如答图，连接OC,OE.
　　　　　　　
∵OA=OC,
∴∠A=∠1.
∵AO=OB,E为BD的中点,
∴OE//AD.
∴∠1=∠3,∠A=∠2,
∴∠2=∠3.
　在△COE与△BOE中,
$\begin{cases}OC = OB\\∠3 = ∠2\\OE = OE\end{cases}$
∴△COE≌△BOE(SAS).
∴∠OCE=∠ABD=90°.
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线.
(2)解:
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠BCD=90°,∠A+∠ABC=90°.
∵AB⊥BD,
∴∠A+∠D=90°,
∴∠ABC=∠D.
∴△ABC∽△BDC.
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CD}{CB}$,
∴BC²=AC·CD.
∵AC=3CD,
∴BC²=$\frac{1}{3}$AC².
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠A=30°.