《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

10. 如图，将矩形 $ABCD$ 沿 $GH$ 折叠，点 $C$ 落在点 $Q$ 处，点 $D$ 落在 $AB$ 边上的点 $E$ 处，$EQ$ 与 $BC$ 相交于点 $F$，若 $AD = 8$，$AB = 6$，$AE = 4$，求 $△ EBF$ 的周长.

答案： 10. 解:设 $AH = a$，则 $DH = AD - AH = 8 - a$。
在 $Rt△ AEH$ 中，$∠ EAH = 90^{\circ}$，$AE = 4$，$AH = a$，$EH = DH = 8 - a$，$\therefore EH^{2} = AE^{2} + AH^{2}$，即 $(8 - a)^{2} = 4^{2} + a^{2}$，解得 $a = 3$。
由题意，得 $∠ BFE + ∠ BEF = 90^{\circ}$，$∠ BEF + ∠ AEH = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ BFE = ∠ AEH$。
又 $\because ∠ EAH = ∠ FBE = 90^{\circ}$，$\therefore △ EBF ∽ △ HAE$，$\therefore \frac{C_{△ EBF}}{C_{△ HAE}} = \frac{BE}{AH} = \frac{AB - AE}{AH} = \frac{2}{3}$。
$\because C_{△ HAE} = AE + EH + AH = AE + AD = 12$，$\therefore C_{△ EBF} = \frac{2}{3}C_{△ HAE} = 8$。故 $△ EBF$ 的周长为 8。

11. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $CD ⊥ AB$ 于点 $G$。$F$ 是 $CG$ 的中点，连接 $AF$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$，连接 $AD$，$DE$。
(1) 求证：$AD^2 = AE · AF$；
(2) 若 $CF = 2$，$AF = 3$，求 $△ DEF$ 的面积。

答案： 11.
(1) 证明: $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $CD ⊥ AB$，$\therefore \overset{\frown}{CA} = \overset{\frown}{DA}$，$\therefore ∠ FDA = ∠ DEA$。
又 $\because ∠ DAF = ∠ EAD$，$\therefore △ AFD ∽ △ ADE$，$\therefore \frac{AD}{AE} = \frac{AF}{AD}$，$\therefore AD^{2} = AE · AF$。
(2) 解: $\because F$ 是 $CG$ 的中点，$\therefore FG = CF = 2$。
$\because AF = 3$，$\therefore AG = \sqrt{AF^{2} - FG^{2}} = \sqrt{5}$。
$\because CD ⊥ AB$，$\therefore GC = GD$。
$\because CG = CF + FG = 2 + 2 = 4$，$\therefore DG = 4$，$\therefore FD = DG + FG = 4 + 2 = 6$，$AD = \sqrt{AG^{2} + DG^{2}} = \sqrt{21}$，$\therefore S_{△ ADF} = \frac{1}{2}DF · AG = \frac{1}{2} × 6 × \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$。
$\because △ ADF ∽ △ AED$，$\therefore \frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AED}} = (\frac{AF}{AD})^{2}$，$\therefore \frac{3\sqrt{5}}{S_{△ AED}} = (\frac{3}{\sqrt{21}})^{2} = \frac{3}{7}$，$\therefore S_{△ AED} = 7\sqrt{5}$，$\therefore S_{△ DEF} = S_{△ AED} - S_{△ ADF} = 4\sqrt{5}$。

12. (2024·徐州期末)如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，$∠ A = 36°$，$BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线。
(1) $△ ABC$ 与 $△ BDC$ 相似吗？请说明理由。
(2) 求 $\frac{DC}{AD}$ 的值。

答案： 12. 解:
(1) $△ ABC$ 与 $△ BDC$ 相似。
理由: $\because AB = AC$，$∠ A = 36^{\circ}$，$\therefore ∠ ABC = ∠ C = \frac{180^{\circ} - ∠ A}{2} = 72^{\circ}$。
$\because BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线，$\therefore ∠ ABD = ∠ DBC = 36^{\circ}$，$\therefore ∠ A = ∠ DBC$。
$\because ∠ C = ∠ C$，$\therefore △ CBD ∽ △ CAB$。
(2) $\because ∠ A = ∠ ABD = 36^{\circ}$，$\therefore DA = DB$。
$\because ∠ BDC$ 是 $△ ABD$ 的一个外角，$\therefore ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD = 72^{\circ}$。
$\because ∠ C = 72^{\circ}$，$\therefore ∠ BDC = ∠ C$，$\therefore BD = BC$，$\therefore AD = DB = BC$。
$\because △ CBD ∽ △ CAB$，$\therefore \frac{AC}{CB} = \frac{CB}{CD}$，$\therefore CB^{2} = AC · CD$，$\therefore AD^{2} = AC · CD$，$\therefore D$ 是 $AC$ 的黄金分割点，$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{CD}{AD} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。