《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

三、解答题(共40分)
11. (12分)已知二次函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数图像.

根据图像可知,顶点坐标为( 2 , - 1 );图像与 $ x $ 轴的交点坐标为( 1 , 0 ) 和 $ ( 3 , 0 ) $;图像与 $ y $ 轴的交点坐标为( 0 , 3 ).
(2)当 $ 0 ≤ x ＜ 3 $ 时,$ y $ 的取值范围是$ - 1 ≤ y ≤ 3 $.

答案：
11.
(1) 解：$ y = x ^ { 2 } - 4 x + 3 = ( x - 3 ) ( x - 1 ) = ( x - 2 ) ^ { 2 } - 1 $. 图像如答图所示.
　　　　　　　
$ ( 2 , - 1 ) $ $ ( 1 , 0 ) $ 和 $ ( 3 , 0 ) $ $ ( 0 , 3 ) $
(2) $ - 1 ≤ y ≤ 3 $

12. (14分)如图,抛物线 $ y = - x^2 + bx + c $ 经过点 $ A(4,0) $ 和点 $ B(0,2) $,顶点为 $ C $,对称轴为直线 $ l $,$ l $ 交 $ x $ 轴于点 $ D $.
(1)求顶点 $ C $ 的坐标;
(2)连接 $ AC,BC,BD $,求四边形 $ ADBC $ 的面积.

答案： 12. 解：
(1) $ \because $ 抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + b x + c $ 经过点 $ A ( 4 , 0 ) $ 和点 $ B ( 0 , 2 ) $，
$ \therefore \{ \begin{array} { l } { - 16 + 4 b + c = 0 , } \\ { c = 2 , } \end{array} $ 解得 $ \{ \begin{array} { l } { b = \dfrac { 7 } { 2 } , } \\ { c = 2 , } \end{array} $
$ \therefore y = - x ^ { 2 } + \dfrac { 7 } { 2 } x + 2 = - ( x - \dfrac { 7 } { 4 } ) ^ { 2 } + \dfrac { 81 } { 16 } $，
$ \therefore $ 顶点 $ C $ 的坐标为 $ ( \dfrac { 7 } { 4 } , \dfrac { 81 } { 16 } ) $.
(2) $ \because $ 点 $ C $ 的坐标为 $ ( \dfrac { 7 } { 4 } , \dfrac { 81 } { 16 } ) $，
$ \therefore S _ { \mathrm{ 四边形 } A D B C } = S _ { △ B D C } + S _ { △ A D C } = \dfrac { 1 } { 2 } C D · O A = \dfrac { 1 } { 2 } × \dfrac { 81 } { 16 } × 4 = \dfrac { 81 } { 8 } $.

13. (14分)(2024·安徽)已知抛物线 $ y = - x^2 + bx $($ b $ 为常数)的顶点横坐标比抛物线 $ y = - x^2 + 2x $ 的顶点横坐标大1.
(1)求 $ b $ 的值.
(2)点 $ A(x_1,y_1) $ 在抛物线 $ y = - x^2 + 2x $ 上,点 $ B(x_1 + t,y_1 + h) $ 在抛物线 $ y = - x^2 + bx $ 上.
①若 $ h = 3t $,且 $ x_1 ≥ 0,t ＞ 0 $,求 $ h $ 的值;
②若 $ x_1 = t - 1 $,求 $ h $ 的最大值.

答案： 13. 解：
(1) $ \because $ 抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + b x $ 的顶点横坐标为 $ \dfrac { b } { 2 } $，抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + 2 x $ 的顶点横坐标为 $ 1 $，
$ \therefore \dfrac { b } { 2 } - 1 = 1 $，$ \therefore b = 4 $.
(2) $ \because $ 点 $ A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) $ 在抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + 2 x $ 上，
$ \therefore y _ { 1 } = - x _ { 1 } ^ { 2 } + 2 x _ { 1 } $.
$ \because $ 点 $ B ( x _ { 1 } + t , y _ { 1 } + h ) $ 在抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + 4 x $ 上，
$ \therefore y _ { 1 } + h = - ( x _ { 1 } + t ) ^ { 2 } + 4 ( x _ { 1 } + t ) $，
$ - x _ { 1 } ^ { 2 } + 2 x _ { 1 } + h = - ( x _ { 1 } + t ) ^ { 2 } + 4 ( x _ { 1 } + t ) $，
$ \therefore h = - t ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } t + 2 x _ { 1 } + 4 t $.
① $ \because h = 3 t $，$ \therefore 3 t = - t ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } t + 2 x _ { 1 } + 4 t $，
$ \therefore t ( t + 2 x _ { 1 } ) = t + 2 x _ { 1 } $.
$ \because x _ { 1 } ≥ 0 $，$ t ＞ 0 $，$ \therefore t + 2 x _ { 1 } ＞ 0 $，$ \therefore t = 1 $，$ \therefore h = 3 $.
② 将 $ x _ { 1 } = t - 1 $ 代入 $ h = - t ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } t + 2 x _ { 1 } + 4 t $，
$ \therefore h = - 3 t ^ { 2 } + 8 t - 2 $，
即 $ h = - 3 ( t - \dfrac { 4 } { 3 } ) ^ { 2 } + \dfrac { 10 } { 3 } $.
$ \because - 3 ＜ 0 $，$ \therefore $ 当 $ t = \dfrac { 4 } { 3 } $，即 $ x _ { 1 } = \dfrac { 1 } { 3 } $ 时，$ h $ 取得最大值 $ \dfrac { 10 } { 3 } $.