《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

1. (2024·靖江期末)如图，在等边△ABC中，D是边BC上一个动点(不与点A，B重合)，点E在AC上，且∠ADE = 60°。
(1)求证：△ABD ∽ △DCE；
(2)若等边△ABC的边长为3，求AE的最小值。

答案： 1.
(1) 证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B = ∠C = 60°。
∵∠ADE = 60°，
∴∠BAD + ∠ADB = 180° - ∠B = 120°，∠CDE + ∠ADB = 180° - ∠ADE = 120°，
∴∠BAD + ∠ADB = ∠CDE + ∠ADB，
∴∠BAD = ∠CDE，
∴△ABD∽△DCE。
(2) 解：
∵等边△ABC 的边长为 3，
∴AB = BC = AC = 3，
∴DC = 3 - BD，CE = 3 - AE。
∵△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{DC} = \frac{BD}{CE}$，
∴$\frac{3}{3 - BD} = \frac{BD}{3 - AE}$，
整理，得$AE = \frac{1}{3}(BD - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$。
∵$\frac{1}{3}(BD - \frac{3}{2})^2 ≥ 0$，
∴$\frac{1}{3}(BD - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} ≥ \frac{9}{4}$，
∴$\frac{1}{3}(BD - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$的最小值为$\frac{9}{4}$，
∴AE 的最小值为$\frac{9}{4}$。

2. 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC = ∠EDF = 90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q。
(1)当点Q在线段CA上时，如图①，求证：△BPE ∽ △CEQ；
(2)当点Q在线段CA的延长线上时，如图②，△BPE和△CEQ是否相似？请说明理由。

答案： 2.
(1) 证明：
∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B = ∠C = ∠DEF = 45°。
∵∠BEQ = ∠BEP + ∠DEF = ∠EQC + ∠C，
∴∠BEP + 45° = ∠EQC + 45°，
∴∠BEP = ∠EQC。
又
∵∠B = ∠C，
∴△BPE∽△CEQ。
(2) 解：△BPE∽△CEQ。理由如下：
由题意知∠B = ∠C = ∠DEF = 45°。
∵∠BEQ = ∠EQC + ∠C，
∴∠BEP + ∠DEF = ∠EQC + ∠C，
∴∠BEP + 45° = ∠EQC + 45°，
∴∠BEP = ∠EQC。
又
∵∠B = ∠C，
∴△BPE∽△CEQ。