《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

7. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，$G$在小正方形的顶点上，则$△ ABC$的重心是(A)

A.点$D$
B.点$E$
C.点$F$
D.点$G$

答案： 7.A

8. 如图，在正方形$ABCD$中，$M$为$BC$上一点，$ME⊥ AM$，$ME$交$AD$的延长线于点$E$。若$AB = 12$，$BM = 5$，则$DE$的长为(B)

A.$18$
B.$\dfrac{109}{5}$
C.$\dfrac{96}{5}$
D.$\dfrac{25}{3}$

答案： 8.B

9. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AD$平分$∠ BAC$交$\odot O$于点$D$，若$AD = 5$，$BD = 2$，则$DE$的长为$\frac{4}{5}$。

答案： 9.$\frac{4}{5}$

10. （2024·盐城）如图，点$C$在以$AB$为直径的$\odot O$上，过点$C$作$\odot O$的切线$l$，过点$A$作$AD⊥ l$，垂足为$D$，连接$AC$，$BC$。
（1）求证：$△ ABC∽△ ACD$；
（2）若$AC = 5$，$CD = 4$，求$\odot O$的半径。

答案：
10.
(1)证明:如答图，连接OC.
∵l是⊙O的切线,
∴OC⊥l.
∵AD⊥l,
∴OC//AD,
∴∠CAD=∠ACO.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠CAD=∠BAC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠ACB,
∴△ABC∽△ACD.
(2)解:
∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°,
∴AD=$\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}$=3.
∵△ABC∽△ACD,
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$,
∴$\frac{AB}{5}$=$\frac{5}{3}$,
∴AB=$\frac{25}{3}$,
∴⊙O的半径为$\frac{25}{6}$.

11. 在矩形$ABCD$中，$AB = 8$，$AD = 12$。将矩形折叠，使点$A$落在点$P$处，折痕为$DE$。
（1）如图①，若点$P$恰好在边$BC$上，连接$AP$，求$\dfrac{AP}{DE}$的值；
（2）如图②，若$E$是$AB$的中点，$EP$的延长线交$BC$于点$F$，求$BF$的长。

答案：
11.解:
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°.由折叠得DE⊥AP,
∴∠PAD+∠ADE=90°.
∵∠BAD=90°,
∴∠PAD+∠BAP=90°,
∴∠ADE=∠BAP.
　又
∵∠BAD=∠B,
∴△ABP∽△DAE,
∴$\frac{AP}{DE}$=$\frac{AB}{DA}$.
∵AB=8,AD=12,
∴$\frac{AP}{DE}$=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$.
(2)如答图，过点P作GH//BC,交AB于点G,交CD 于点H，则四边形AGHD是矩形.
　设EG=x,则BG=4−x,DH=AG=4+x.
∵∠A=∠EPD=90°,∠EGP=∠DHP=90°,
∴∠EPG+∠DPH=90°,∠DPH+∠PDH=90°,
∴∠EPG=∠PDH,
∴△EGP∽△PHD,
∴$\frac{EG}{PH}$=$\frac{PG}{DH}$=$\frac{EP}{PD}$=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$,
∴PH=3EG=3x.
　在Rt△PHD中,PH²+DH²=PD²,
∴(3x)²+(4+x)²=12²,解得x=$\frac{16}{5}$(舍去负值),
∴BG=4−$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$.
　在Rt△EGP中,GP=$\sqrt{EP^{2}-EG^{2}}$=$\frac{12}{5}$.
∵GH//BC,
∴∠EGP=∠B.
　又
∵∠GEP=∠BEF,
∴△EGP∽△EBF,
∴$\frac{EG}{EB}$=$\frac{GP}{BF}$,
∴$\frac{\frac{16}{5}}{4}$=$\frac{\frac{12}{5}}{BF}$,
∴BF=3.