《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

9. (2024·眉山)如图，菱形$ABCD$的边长为$6$，$∠ BAD = 120^{\circ}$，过点$D$作$DE⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$E$，连接$AE$分别交$BD$，$CD$于点$F$，$G$，则$FG$的长为$\frac{4\sqrt{7}}{5}$.

答案： 9. $\frac{4\sqrt{7}}{5}$

三、解答题（共 46 分）
10. （14 分）如图，$△ ABC$的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图.
（1）在图①中以$O$为位似中心，作$△ ABC$的位似图形，并把$△ ABC$的边长缩小到原来的$\frac{1}{2}$；
（2）在图②中画$□ ABEF$，使得它与$△ ABC$的面积相等，且$E$，$F$在格点上.

答案：
10. 解:
(1)如答图①,$△ A'B'C'$即为所求作.
(2)如答图②,$□ ABEF$即为所求作.

11. （14 分）（2024·建邺区开学）一块直角三角形木板，它的一条直角边$AC$长为$2\ m$，面积为$1.5\ m^{2}$. 现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面. 甲、乙两位同学的加工方法分别如图①和图②所示. 请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求.

答案：
11. 解:$\because$直角三角形木板的一条直角边 AC 长为 2 m,面积为$1.5\ \mathrm{m}^2$,$\therefore \frac{1}{2}× 2× BC=1.5$,
$\therefore BC=1.5\ \mathrm{m},AB=2.5\ \mathrm{m}.$
在甲同学的加工方法中,设正方形的边长为$y\ \mathrm{m}$,
$\because$四边形 CDEF 是正方形,$\therefore DE// CB$,
$\therefore △ ADE∽ △ ACB$,$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CB}$,即$\frac{2-y}{2}=\frac{y}{1.5}$,
解得$y=\frac{6}{7}$,即正方形 CDEF 的边长为$\frac{6}{7}\ \mathrm{m}.$

在乙同学的加工方法中,如答图,过点 C 作$CG⊥ AB$于点 G,交 MN 于点 K,则$CK⊥ MN$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,AB 边上的高$CG=\frac{2× 1.5}{2.5}=1.2(\mathrm{m}).$
设正方形的边长为$x\ \mathrm{m}$,
$\because$四边形 MNPQ 是正方形,$\therefore MN// AB$,
$\therefore △ CMN∽ △ CAB$,
$\therefore \frac{MN}{AB}=\frac{CK}{CG}$,即$\frac{x}{2.5}=\frac{1.2-x}{1.2}$,解得$x=\frac{30}{37}$,
即正方形 MNPQ 的边长为$\frac{30}{37}\ \mathrm{m}.$
$\because \frac{30}{37}＜\frac{6}{7}$,$\therefore$甲同学的加工方法符合要求.

12. （18 分）如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，点$O$在$BC$上，$∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点$D$，连接$BD$，$CD$，过点$D$作$BC$的平行线与$AC$的延长线相交于点$P$.
（1）求证：$PD$是$\odot O$的切线；
（2）求证：$△ ABD∽△ DCP$；
（3）若$AB = 6$，$AC = 8$，求点$O$到$AD$的距离.

答案：
12.
(1)证明:如答图,连接 OD.
$\because$ AD 平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore ∠ BOD=∠ COD=90°$.
$\because BC// PD$,$\therefore ∠ ODP=∠ BOD=90°$,$\therefore OD⊥ PD$.
$\because$ OD 是$\odot O$的半径,$\therefore$ PD 是$\odot O$的切线.
(2)证明:$\because BC// PD$,$\therefore ∠ PDC=∠ BCD$.
$\because ∠ BCD=∠ BAD$,$\therefore ∠ BAD=∠ PDC$.
$\because ∠ ABD+∠ ACD=180°$,$∠ ACD+∠ PCD=180°$,
$\therefore ∠ ABD=∠ PCD$,$\therefore △ ABD∽ △ DCP$.
(3)解:如答图,过点 O 作$OE⊥ AD$于点 E.
$\because$ BC 是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ BAC=∠ BDC=90°$.
$\because AB=6$,$AC=8$,$\therefore BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$,$\therefore OD=5$.
由题意知$BD=CD$,$\therefore BD=CD=5\sqrt{2}$,
由
(2)知$△ ABD∽ △ DCP$,
$\therefore ∠ ADB=∠ P$,$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CP}$,即$\frac{6}{5\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{CP}$,
$\therefore CP=\frac{25}{3}$,$\therefore AP=AC+CP=8+\frac{25}{3}=\frac{49}{3}$.
$\because ∠ ADB=∠ P$,$∠ BAD=∠ DAP$,
$\therefore △ BAD∽ △ DAP$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AP}$,即$\frac{6}{AD}=\frac{AD}{\frac{49}{3}}$,
$\therefore AD^2=6× \frac{49}{3}=98$,$\therefore AD=7\sqrt{2}$.
$\because OE⊥ AD$,$\therefore DE=\frac{1}{2}AD=\frac{7\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore OE=\sqrt{OD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-(\frac{7\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
即点 O 到 AD 的距离是$\frac{\sqrt{2}}{2}$.