《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上(不与点A，C重合)，点E在线段BC的延长线上，且BD=DE.设$\frac{AD}{AC}=x$，$\frac{CE}{BC}=y$，则(A)

A.$y = x$
B.$y = 2x$
C.$y=\frac{1}{x}$
D.$y = x^{2}$

答案：
1. A 点拨：如答图，过点 D 作 DF//BC，交 AB 于点 F，

则∠FDB=∠DBE.
∵AB=AC，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF=∠ACB，
∴∠BFD=∠DCE.
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠E=∠FDB，
∴△BDF≌△DEC（AAS），
∴CE=DF.
∵DF//BC，
∴△ADF∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{BC}=\frac{CE}{BC}$.
∵$\frac{AD}{AC}=x$，$\frac{CE}{BC}=y$，
∴y=x.

2. (2024·高新区一模)如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.此时M是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH的黄金分割点，则$\frac{MN}{AM}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

答案：
2. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
点拨：如答图，连接 AE.
∵将⊙O 的圆周分成五等份，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$，

∴∠AEB=∠DAE，
∴MA=ME.
∵M 是 NE 的黄金分割点，
∴$\frac{ME}{NE}=\frac{NM}{ME}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{NM}{AM}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

3. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
(1)如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的点，连接DE，CF，DE⊥CF，则$\frac{DE}{CF}$的值为1；
(2)如图②，在矩形ABCD中，若AD=8，CD=6，E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则$\frac{CE}{BD}$的值为$\frac{3}{4}$；
(3)如图②，在矩形ABCD中，若$\frac{AD}{AB}=\sqrt{2}$.E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，E是否为AD的中点? 请说明理由.

答案：
3. （1）1 （2）$\frac{3}{4}$
（3）解：E 是 AD 的中点，理由如下：
设 AB=CD=a，则 AD=$\sqrt{2}a$，如答图，设 DB 与 CE 交于点 G，

∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=∠EDC=90°.
∵CE⊥BD，
∴∠DGC=90°，
∴∠CDG+∠ECD=90°，∠ADB+∠CDG=90°，
∴∠ECD=∠ADB.
∵∠CDE=∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{AD}$，
即$\frac{DE}{a}=\frac{a}{\sqrt{2}a}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{1}{2}AD$，
∴E 为 AD 的中点.