《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

9. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 3 $，$ AD = 5 $，点 $ E $ 在边 $ DC $ 上，将矩形 $ ABCD $ 沿 $ AE $ 折叠，点 $ D $ 恰好落在 $ BC $ 边上的点 $ F $ 处，那么 $ \sin ∠ EFC $ 的值为$\frac{4}{5}$。

答案： 9.$\frac{4}{5}$

10. 如图，在锐角 $ △ ABC $ 中，以 $ BC $ 为直径的半圆 $ O $ 分别交 $ AB $，$ AC $ 于 $ D $，$ E $ 两点，且 $ S_{△ ADE} : S_{△ ABC} = 1 : 3 $，则 $ \cos ∠ BAC $ 的值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

答案： 10.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

11. 如图，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $，若 $ CD = 12 $，$ BD = 5 $，求 $ ∠ A $ 的三个三角函数值。

答案： 11.解:
∵CD⊥AB,
∴∠BDC = 90°.
∵∠ACB = 90°,
∴∠A + ∠ACD = ∠ACD + ∠BCD = 90°,
∴∠A = ∠BCD.
∵CD = 12,BD = 5,根据勾股定理,得BC = 13,
∴sinA = sin∠BCD = $\frac{BD}{BC}$ = $\frac{5}{13}$,cosA = cos∠BCD = $\frac{CD}{BC}$ = $\frac{12}{13}$,tanA = tan∠BCD = $\frac{BD}{CD}$ = $\frac{5}{12}$

12. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ AE $ 平分 $ ∠ DAB $，已知 $ CE = 6 $，$ BE = 8 $，$ DE = 10 $。
(1)求证：$ ∠ BEC = 90^{\circ} $；
(2)求 $ \cos ∠ DAE $ 的值。

答案： 12.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC,DC//AB,
∴∠DEA = ∠EAB.
∵AE平分∠DAB,
∴∠DAE = ∠EAB,
∴∠DAE = ∠DEA,
∴AD = DE = 10,
∴BC = 10.
∵CE² + BE² = 6² + 8² = 100 = BC²,
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC = 90°.
(2)解:
∵AB//CD,
∴∠ABE = ∠BEC = 90°.
∵AB = CD = DE + CE = 16,
∴AE = $\sqrt{AB^{2} + BE^{2}}$ = $\sqrt{16^{2} + 8^{2}}$ = 8$\sqrt{5}$,
∴cos∠DAE = cos∠EAB = $\frac{AB}{AE}$ = $\frac{16}{8\sqrt{5}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

13. 如图，在 $ △ ABC $ 中，以 $ BC $ 为直径的 $ \odot O $ 交 $ AC $ 于点 $ E $，过点 $ E $ 作 $ EF ⊥ AB $ 于点 $ F $，延长 $ EF $ 交 $ CB $ 的延长线于点 $ G $，且 $ ∠ ABG = 2 ∠ C $。
(1)求证：$ EF $ 是 $ \odot O $ 的切线；
(2)若 $ \sin ∠ EGC = \frac{3}{5} $，$ \odot O $ 的半径是 $ 3 $，求 $ AF $ 的长。

答案：
13.
(1)证明:如答图，连接EO.
　　　　　　　　
∵OE = OC,
∴∠C = ∠OEC,
∴∠EOG = 2∠C.
∵∠ABG = 2∠C,
∴∠EOG = ∠ABG,
∴AB//EO.
∵EF⊥AB,
∴EF⊥OE.
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线.
(2)解:
∵∠ABG = 2∠C,∠ABG = ∠C + ∠A,
∴∠A = ∠C,
∴BA = BC = 6.
　　在Rt△OEG中，
∵sin∠EGO = $\frac{OE}{OG}$,
∴OG = $\frac{OE}{\sin ∠EGO}$ = $\frac{3}{\frac{3}{5}}$ = 5,
∴BG = OG - OB = 2.
　　在Rt△FGB中，
∵sin∠EGO = $\frac{BF}{BG}$,
∴BF = BG·sin∠EGO = 2×$\frac{3}{5}$ = $\frac{6}{5}$,
∴AF = AB - BF = 6 - $\frac{6}{5}$ = $\frac{24}{5}$.