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1. 下列选项是对二次函数 $ y = 2(x - 3)^2 + 1 $ 的描述，其中正确的是(
A.图像的开口向下
B.图像的对称轴为直线 $ x = -3 $
C.函数的最小值为 1
D.当 $ x ＜ 3 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
C
)A.图像的开口向下
B.图像的对称轴为直线 $ x = -3 $
C.函数的最小值为 1
D.当 $ x ＜ 3 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
答案：
1. C
2. 求下列二次函数的图像的对称轴和顶点坐标.
(1) $ y = 2x^2 + 12x + 21 $（用配方法）； (2) $ y = -3x^2 + 5x + 1 $（用公式法）.
(1) $ y = 2x^2 + 12x + 21 $（用配方法）； (2) $ y = -3x^2 + 5x + 1 $（用公式法）.
答案：
2. 解：
(1)$y=2x^{2}+12x+21$
$=2(x^{2}+6x+9-9)+21$
$=2(x+3)^{2}+3$，
$\therefore$对称轴为直线$x=-3$，顶点坐标为$(-3,3)$。
(2)$y=-3x^{2}+5x+1$，
$\because a=-3$，$b=5$，$c=1$，$\therefore -\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-3)}=\frac{5}{6}$，
$\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4×(-3)×1 - 5^{2}}{4×(-3)}=\frac{37}{12}$，
$\therefore$对称轴为直线$x=\frac{5}{6}$，顶点坐标为$(\frac{5}{6},\frac{37}{12})$。
(1)$y=2x^{2}+12x+21$
$=2(x^{2}+6x+9-9)+21$
$=2(x+3)^{2}+3$，
$\therefore$对称轴为直线$x=-3$，顶点坐标为$(-3,3)$。
(2)$y=-3x^{2}+5x+1$，
$\because a=-3$，$b=5$，$c=1$，$\therefore -\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-3)}=\frac{5}{6}$，
$\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4×(-3)×1 - 5^{2}}{4×(-3)}=\frac{37}{12}$，
$\therefore$对称轴为直线$x=\frac{5}{6}$，顶点坐标为$(\frac{5}{6},\frac{37}{12})$。
3. 求下列二次函数的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) $ y = 3x^2 - 6x $； (2) $ y = \frac{1}{2}x^2 - x + 3 $.
(1) $ y = 3x^2 - 6x $； (2) $ y = \frac{1}{2}x^2 - x + 3 $.
答案：
3. 解：
(1)$\because y=3x^{2}-6x=3(x - 1)^{2}-3$中，$a=3＞0$，
$\therefore$抛物线的开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-3)$。
(2)$\because y=\frac{1}{2}x^{2}-x+3=\frac{1}{2}(x - 1)^{2}+\frac{5}{2}$中，$a=\frac{1}{2}＞0$，
$\therefore$抛物线的开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,\frac{5}{2})$。
(1)$\because y=3x^{2}-6x=3(x - 1)^{2}-3$中，$a=3＞0$，
$\therefore$抛物线的开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-3)$。
(2)$\because y=\frac{1}{2}x^{2}-x+3=\frac{1}{2}(x - 1)^{2}+\frac{5}{2}$中，$a=\frac{1}{2}＞0$，
$\therefore$抛物线的开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,\frac{5}{2})$。
4. 已知点 $ (2,0) $ 在抛物线 $ y = -3x^2 + (k + 3)x - k $ 上，求此抛物线的对称轴.
答案：
4. 解：$\because$点$(2,0)$在抛物线$y=-3x^{2}+(k+3)x - k$上，
$\therefore 0=-3×2^{2}+(k+3)×2 - k$，解得$k=6$，
$\therefore y=-3x^{2}+(6+3)x - 6=-3x^{2}+9x - 6$，
$\therefore$此抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{9}{2×(-3)}=\frac{3}{2}$。
$\therefore 0=-3×2^{2}+(k+3)×2 - k$，解得$k=6$，
$\therefore y=-3x^{2}+(6+3)x - 6=-3x^{2}+9x - 6$，
$\therefore$此抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{9}{2×(-3)}=\frac{3}{2}$。
5. 已知 $ y = (m - 2)x^{m^2 - m} + 3x + 6 $ 是关于 $ x $ 的二次函数.
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 写出这个二次函数的图像的对称轴及顶点坐标.
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 写出这个二次函数的图像的对称轴及顶点坐标.
答案：
5. 解：
(1)由题意可知$\begin{cases}m^{2}-m=2,\\m - 2≠0,\end{cases}$解得$m=-1$。
(2)$\because m=-1$，$\therefore y=-3x^{2}+3x+6=-3(x - \frac{1}{2})^{2}+\frac{27}{4}$，
$\therefore$这个二次函数图像的对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$，顶点坐标是$(\frac{1}{2},\frac{27}{4})$。
(1)由题意可知$\begin{cases}m^{2}-m=2,\\m - 2≠0,\end{cases}$解得$m=-1$。
(2)$\because m=-1$，$\therefore y=-3x^{2}+3x+6=-3(x - \frac{1}{2})^{2}+\frac{27}{4}$，
$\therefore$这个二次函数图像的对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$，顶点坐标是$(\frac{1}{2},\frac{27}{4})$。
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