《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

三、解答题(共 40 分)
11. (10 分)计算:
(1) $ 2 \sin 30^{\circ} - 3 \tan 45^{\circ} · \sin 45^{\circ} + 4 \cos 60^{\circ} $;
(2) $ \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 30^{\circ} - \tan 60^{\circ}} + \cos 45^{\circ} · \sin 60^{\circ} $.

答案： 11.
(1)$3 - \frac{3}{2}\sqrt{2}$　
(2)$-\frac{\sqrt{6}}{12}$

12. (10 分)如图,在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中,$ ∠ C = 90^{\circ} $,$ D $ 为 $ AC $ 上一点,$ CD = 3 $,$ AD = BD = 5 $. 求 $ ∠ A $ 的三个三角函数值.

答案： 12.解:在Rt△BCD中,
∵CD = 3,BD = 5,
∴BC = $\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 4.
又AC = AD + CD = 8,
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{8^{2}+4^{2}}$ = 4$\sqrt{5}$,
则sinA = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{4}{4\sqrt{5}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$,
cosA = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{8}{4\sqrt{5}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$,tanA = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$.

13. (10 分)如图,在 $ △ ABC $ 中,$ CD $ 平分 $ ∠ ACB $,$ BD ⊥ CD $ 于点 $ D $,$ ∠ ABD = ∠ A $,若 $ BD = 1 $,$ AC = 7 $,求 $ \tan ∠ CBD $ 的值.

答案：
13.解:如答图，延长BD交AC于点E.
∵CD平分∠ACB,
∴∠DCE = ∠DCB.
∵BD⊥CD,
∴∠CDE = ∠CDB = 90°.
在△DCE和△DCB中, $\begin{cases} ∠ CDE = ∠ CDB \\ CD = CD \\ ∠ DCE = ∠ DCB \end{cases}$
∴△DCE≌△DCB(ASA),
∴BD = ED = 1,
∴BE = 2.
∵∠ABD = ∠A,
∴AE = BE = 2.
∵AC = 7,
∴CE = AC - AE = 5,
∴CD = $\sqrt{CE^{2}-DE^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-1^{2}}$ = 2$\sqrt{6}$,
∴tan∠CBD = $\frac{CD}{BD}$ = $\frac{2\sqrt{6}}{1}$ = 2$\sqrt{6}$.

14. (10 分)一副直角三角尺如图放置,点 $ C $ 在 $ FD $ 的延长线上,$ AB // CF $,$ ∠ F = ∠ ACB = 90^{\circ} $,$ ∠ E = 45^{\circ} $,$ ∠ A = 60^{\circ} $,$ AC = 10 $,求 $ CD $ 的长.

答案：
14.解:如答图，过点B作BM⊥FD于点M.

在△ACB中,∠ACB = 90°,∠A = 60°,AC = 10,
∴∠ABC = 30°,BC = AC·tan60° = 10$\sqrt{3}$.
∵AB//CF,
∴∠BCM = ∠ABC = 30°,
∴BM = BC·sin30° = 10$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$ = 5$\sqrt{3}$,
CM = BC·cos30° = 15.
在△EFD中,∠F = 90°,∠E = 45°,
∴∠EDF = 45°,
∴MD = BM = 5$\sqrt{3}$,
∴CD = CM - MD = 15 - 5$\sqrt{3}$.