《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

8. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，过点 $B$ 作 $BD⊥ CB$，垂足为 $B$，且 $BD = 4$，连接 $CD$，与 $AB$ 相交于点 $M$，过点 $M$ 作 $MN⊥ CB$，垂足为 $N$.若 $AC = 3$，则 $MN$ 的长为(C)

A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{12}{7}$
D.$\frac{27}{7}$

答案： 8. C

9. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$D$ 是线段 $BC$ 上一动点，连接 $AD$，以 $AD$ 为边作$△ ADE$，使$△ ADE∼△ ABC$，若 $AB = 3$，$BC = 5$，则$△ ADE$面积的最小值为$\dfrac{96}{25}$.

答案： 9. $\dfrac{96}{25}$

10. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，矩形 $DEFG$ 的顶点 $G$，$F$ 分别在 $AC$，$BC$ 上，$DE$ 在 $AB$ 上.若 $AG = 5$，$AD = 4$，则 $BE$ 的长为$\dfrac{9}{4}$.

答案： 10. $\dfrac{9}{4}$

11. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $AD$ 上一点，$EC// AB$，$EB// DC$.
(1)$△ ABE$ 与$△ ECD$ 相似吗？为什么？
(2)设$△ ABE$ 中 $BE$ 边上的高为 $h_{1}$，$△ ECD$ 中 $CD$ 边上的高为 $h_{2}$，$△ ABE$ 的面积为 $3$，$△ ECD$ 的面积为 $1$，求$\frac{h_{1}}{h_{2}}$的值及$△ BCE$ 的面积.

答案： 11. 解:
(1)相似，理由:
∵ $AB // CE$，
∴ $∠ A = ∠ CED$。
∵ $BE // CD$，
∴ $∠ BEA = ∠ D$，
∴ $△ ABE ∽ △ ECD$。
(2)
∵ $△ ABE ∽ △ ECD$，
∴ $\dfrac{h_{1}}{h_{2}} = \sqrt{\dfrac{S_{△ ABE}}{S_{△ ECD}}} = \sqrt{\dfrac{3}{1}} = \sqrt{3}$。
∵ $S_{△ ABE} = \dfrac{1}{2}BE · h_{1}$，$S_{△ BCE} = \dfrac{1}{2}BE · h_{2}$，
∴ $\dfrac{S_{△ ABE}}{S_{△ BCE}} = \dfrac{h_{1}}{h_{2}} = \sqrt{3}$，
∴ $\dfrac{3}{S_{△ BCE}} = \sqrt{3}$，
∴ $S_{△ BCE} = \sqrt{3}$。

12. (2024·宜兴期末)如图，以 $AD$ 为直径的$\odot O$ 与$△ ABC$ 的边 $BC$ 相切于点 $D$，分别与 $AB$，$AC$ 交于点 $E$，$F$，连接 $EF$，$DF$，$DE$.
(1)求证：$△ AEF∼△ ACB$；
(2)若 $AD = 4$，$CD = 3$，$BD = 6$，求 $EF$ 的长.

答案： 12.
(1)证明:
∵ $\odot O$ 与 $△ ABC$ 的边 $BC$ 相切，
∴ $∠ ADC = ∠ ADB = 90^{\circ}$，
∴ $∠ ADF + ∠ CDF = 90^{\circ}$。
∵ $AD$ 为 $\odot O$ 的直径，
∴ $∠ AFD = ∠ CFD = 90^{\circ}$，
∴ $∠ C + ∠ CDF = 90^{\circ}$，
∴ $∠ C = ∠ ADF$。
∵ $\overset{\frown}{AF} = \overset{\frown}{AF}$，
∴ $∠ C = ∠ ADF = ∠ AEF$。
∵ $∠ EAF = ∠ CAB$，
∴ $△ AEF ∽ △ ACB$。
(2)解:由勾股定理，得 $AC = \sqrt{AD^{2} + DC^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$，
$AB = \sqrt{BD^{2} + AD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{13}$。
∵ $∠ C = ∠ C$，$∠ CFD = ∠ ADC$，
∴ $△ CFD ∽ △ CDA$，
∴ $\dfrac{CF}{CD} = \dfrac{CD}{AC}$，
∴ $\dfrac{CF}{3} = \dfrac{3}{5}$，
∴ $CF = \dfrac{9}{5}$，
∴ $AF = AC - CF = 5 - \dfrac{9}{5} = \dfrac{16}{5}$，
∴ $\dfrac{AF}{AB} = \dfrac{8\sqrt{13}}{65}$。
由
(1)的结论及三角形相似的性质可得
$\dfrac{EF}{BC} = \dfrac{AF}{AB} = \dfrac{8\sqrt{13}}{65} = \dfrac{EF}{3 + 6}$，
∴ $EF = \dfrac{72\sqrt{13}}{65}$。