《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

8. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似(B)


A.①处
B.②处
C.③处
D.④处

答案： 8. B

9. $△ ABC$的三边长分别为$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$，$2$，$△ DEF$的两边长分别为$1$，$\sqrt{5}$，要使$△ ABC ∽ △ DEF$，则$△ DEF$的第三边的长是(D)

A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$

答案： 9. D

10. 如图，在正方形网格中有$5$个格点三角形，分别是：①△ABC；②△ACD；③△ADE；④△AEF；⑤△AGH.其中与⑤相似的三角形是______.（填序号）

答案： 10. ①③

11. (2024·重庆)如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE//CB,且DE=DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF=_______.

答案： 1. 首先，证明$△ ADE≌△ ACB$：
已知$CD = CA$，$DE = DC$，所以$DE = CA$。
因为$DE// CB$，所以$∠ D=∠ ACB$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ADE$和$△ ACB$中，$\{\begin{array}{l}DE = CA\\∠ D=∠ ACB\\AD = AC + CD=2AC,AB = AB\end{array} $（这里$AD = 2AC$，由$CD = CA$得到），根据$SAS$（边角边）判定定理，$△ ADE≌△ ACB$。
则$∠ E=∠ CAB$。
2. 然后，利用角的关系：
因为$∠ CAB=∠ CFA$，$∠ CFA=∠ EFB$（对顶角相等），$∠ E=∠ CAB$，所以$∠ E=∠ EFB$。
又因为$∠ E=∠ CAB$，$∠ DCE+∠ ACB = 180^{\circ}$，$∠ ACB+∠ CAB+∠ B = 180^{\circ}$，$∠ DCE+∠ D+∠ E = 180^{\circ}$，且$∠ D=∠ ACB$，$∠ E=∠ CAB$。
由于$DE// CB$，可得$△ EFC∼△ AFB$（两直线平行，内错角相等，进而得到三角形相似）。
设$BF = x$。
由$△ ADE≌△ ACB$可知$BC = DE$，又$DE = DC = CA$。
因为$∠ E=∠ EFB$，所以$DE = BF$（等角对等边）。
又因为$△ EFC∼△ AFB$，$\frac{CF}{BF}=\frac{EC}{AB}$，且$∠ CAB=∠ CFA$，$∠ E=∠ CAB$，$∠ ECF=∠ BAF$（由$△ ADE≌△ ACB$和角的关系得到）。
因为$DE// CB$，$\frac{CF}{BF}=\frac{EC}{AB}$，又$∠ E=∠ CAB$，$∠ ECF=∠ B$（由$△ ADE≌△ ACB$和$DE// CB$得到）。
由于$∠ E=∠ EFB$，$DE = BF$，且$DE = BC$（$△ ADE≌△ ACB$），$BC=BF + CF$，设$BF=x$，$BC=x + 1$，又$DE = BC$，$DE// CB$。
因为$∠ E=∠ CAB$，$∠ CFA=∠ EFB$，$∠ E=∠ EFB$，所以$EC = BF$。
由$△ ADE≌△ ACB$得$BC = DE$，又$DE// CB$，$∠ E=∠ EFB$，所以$BC = BF$。
因为$BC = BF+CF$，$CF = 1$。
又因为$∠ CAB=∠ CFA$，$∠ E=∠ CAB$，$∠ ECF=∠ B$，$△ EFC∼△ AFB$（$AA$相似判定：$∠ E=∠ CAB$，$∠ ECF=∠ B$）。
由$△ ADE≌△ ACB$知$BC = DE$，因为$DE// CB$，$∠ E=∠ EFB$，所以$BC = BF$（等角对等边，$∠ E=∠ EFB$，$∠ E=∠ CAB$，$∠ CAB$和$∠ B$的关系结合$△ ADE≌△ ACB$）。
因为$BC=BF + CF$，$CF = 1$，且$BC = DE$，$DE// CB$，$∠ E=∠ EFB$，所以$BF=2$。
故$BF = 2$。

12. 如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,且$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$.
(1)试问:∠BAE与∠CAD相等吗? 为什么?
(2)试判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由.

答案： 1. （1）
解：$∠ BAE=∠ CAD$。
理由：在$△ ABC$和$△ AED$中，
因为$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，
根据“三边成比例的两个三角形相似”（$△ ABC∼△ AED$，相似三角形的判定定理$SSS$：若$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$，则$△ ABC∼△ A'B'C'$，这里$a = AB$，$b = BC$，$c = AC$，$a'=AE$，$b' = ED$，$c'=AD$）。
所以$∠ BAC=∠ EAD$。
又因为$∠ BAC-∠ EAF=∠ EAD - ∠ EAF$（等式的性质：若$m = n$，则$m - p=n - p$，这里$m=∠ BAC$，$n=∠ EAD$，$p = ∠ EAF$）。
所以$∠ BAE=∠ CAD$。
2. （2）
解：$△ ABE∼△ ACD$。
理由：
已知$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，由（1）已证$∠ BAE=∠ CAD$。
根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”（相似三角形的判定定理$SAS$：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$且$∠ x=∠ y$，则$△ ABC∼△ A'B'C'$，这里$m = AB$，$n = AE$，$p = AC$，$q = AD$，$∠ x=∠ BAE$，$∠ y=∠ CAD$）。
所以$△ ABE∼△ ACD$。
综上，（1）$∠ BAE$与$∠ CAD$相等；（2）$△ ABE∼△ ACD$。

13. 如图，$AB// A'B'$，$\frac {B'C'}{BC}=\frac {OB'}{OB}$，$\frac {A'C'}{AC}=\frac {OA'}{OA}$，求证：$△ ABC∽△ A'B'C'$。

答案： 解：
因为$AB// A'B'$，所以$∠ OAB=∠ OA'B'$，$∠ OBA = ∠ OB'A'$。
在$△ OAB$和$△ OA'B'$中，$∠ AOB=∠ A'OB'$（对顶角相等），$∠ OAB=∠ OA'B'$，$∠ OBA=∠ OB'A'$，所以$△ OAB∼△ OA'B'$，则$\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{AB}{A'B'}$。
又因为$\frac{B'C'}{BC}=\frac{OB'}{OB}$，$\frac{A'C'}{AC}=\frac{OA'}{OA}$，所以$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$。
根据三角形相似的判定定理（三边对应成比例的两个三角形相似），可得$△ ABC∼△ A'B'C'$。