《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

8. 如图，$ \odot O $ 的直径 $ AB $ 经过弦 $ CD $ 的中点 $ H $，若 $ \cos ∠ CDB = \dfrac{4}{5} $，$ BD = 5 $，则 $ \odot O $ 的半径为$\dfrac{25}{6}$。

答案： 8. $\dfrac{25}{6}$

9. 已知 $ △ ABC $ 中，$ AB = 10 $，$ AC = 2\sqrt{7} $，$ ∠ B = 30^{\circ} $，则 $ △ ABC $ 的面积等于$15\sqrt{3}$ 或 $10\sqrt{3}$。

答案： 9. $15\sqrt{3}$ 或 $10\sqrt{3}$

10. 如图，在 $ 4 × 4 $ 的网格中，每个小正方形的边长都为 1，点 $ A $，$ B $，$ C $ 均在格点上，$ D $ 是 $ AB $ 与网格线的交点，则 $ \sin \dfrac{∠ ADC}{2} $ 的值是$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。

答案： 10. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

三、解答题（共 30 分）
11. （15 分）（2025·陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一根信号杆的高度。在征得家长同意后，他们带着工具前往测量。测量示意图如图所示，他们在坡面 $ FB $ 上的点 $ D $ 处安装测角仪 $ DE $，测得信号杆顶端 $ A $ 的仰角 $ α $ 为 $ 45^{\circ} $，$ DE $ 与坡面的夹角 $ β $ 为 $ 72.5^{\circ} $，又测得点 $ D $ 与信号杆底端 $ B $ 之间的距离 $ DB $ 为 $ 22 \mathrm{ m} $。已知 $ DE = 1.7 \mathrm{ m} $，点 $ A $，$ B $，$ C $ 在同一条直线上，$ AB $，$ DE $ 均与水平线 $ FC $ 垂直。求信号杆的高 $ AB $。（参考数据：$ \sin 72.5^{\circ} \approx 0.95 $，$ \cos 72.5^{\circ} \approx 0.30 $，$ \tan 72.5^{\circ} \approx 3.17 $）

答案：
11. 解：过点 $E$ 作 $EI⊥ AC$ 于点 $I$，过点 $D$ 作 $DH⊥ AC$ 于点 $H$，如答图所示。

$\because AB$，$DE$ 均与水平线 $FC$ 垂直，
$\therefore DE// AC$，$\therefore ∠ DBH=∠ BDE = 72.5^{\circ}$。
$\because DH⊥ AC$，$\therefore ∠ DHB = 90^{\circ}$。
在 $Rt△ DBH$ 中，$BD = 22m$，$\sin72.5^{\circ}=\dfrac{DH}{BD}$，
$\cos72.5^{\circ}=\dfrac{BH}{BD}$，
则 $HD = BD·\sin72.5^{\circ}\approx22×0.95 = 20.9(m)$，
$BH = BD·\cos72.5^{\circ}\approx22×0.30 = 6.6(m)$。
$\because EI⊥ AC$，$DH⊥ AC$，$DE// AC$，
$\therefore ∠ EDH=∠ DHI=∠ HIE = 90^{\circ}$，
$\therefore$ 四边形 $EDHI$ 是矩形，
$\therefore EI = HD\approx20.9m$。
$\because ∠ AEI = 45^{\circ}$，$∠ AIE = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ EAI = 45^{\circ}$，
$\therefore AI = EI\approx20.9m$，
$\therefore AB = AI + IH - BH\approx20.9 + 1.7 - 6.6 = 16(m)$。
答：信号杆的高 $AB$ 约为 $16m$。

12. （15 分）如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ \sin ∠ ABC = \dfrac{3}{5} $，点 $ D $ 在边 $ BC $ 上，$ BD = 4 $，连接 $ AD $，$ \tan ∠ DAC = \dfrac{2}{3} $。


求：（1）边 $ AC $ 的长；
（2）$ \tan ∠ BAD $ 的值。

答案：
12. 解：
(1) 设 $AC = 3x$。
$\because ∠ C = 90^{\circ}$，$\sin∠ ABC=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore AB = 5x$，$\therefore BC = 4x$。
$\because \tan∠ DAC=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{2}{3}$，$\therefore CD = 2x$。
$\because BD = 4$，$BC = CD + BD$，$\therefore 4x = 2x + 4$，
解得 $x = 2$，$\therefore AC = 3x = 6$。
(2) 如答图，作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$。

由
(1) 知，$AB = 5x = 10$，$AC = 6$，$BD = 4$，
$\because S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}AB· DE=\dfrac{1}{2}BD· AC$，
$\therefore \dfrac{1}{2}×10× DE=\dfrac{1}{2}×4×6$，
解得 $DE=\dfrac{12}{5}$。
$\because AC = 6$，$CD = 2x = 4$，$∠ C = 90^{\circ}$，
$\therefore AD=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=2\sqrt{13}$，
$\therefore AE=\sqrt{AD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-(\dfrac{12}{5})^{2}}=\dfrac{34}{5}$，
$\therefore \tan∠ BAD=\dfrac{DE}{AE}=\dfrac{\dfrac{12}{5}}{\dfrac{34}{5}}=\dfrac{6}{17}$。