《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

9. 如图，在边长为 $ 1 $ 的小正方形组成的网格中，点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $，$ E $ 均在格点上，半径为 $ 2 $ 的 $ \odot A $ 与 $ BC $ 交于点 $ F $，则 $ \tan ∠ DEF = $$\dfrac{1}{2}$.

答案： 9. $\dfrac{1}{2}$

10. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ \tan A = \dfrac{12}{5} $，则 $ \tan B $ 的值为$\dfrac{5}{12}$.

答案： 10. $\dfrac{5}{12}$

11. (2024·锡山区模拟)在等边 $ △ ABC $ 中，点 $ D $ 在射线 $ CA $ 上，且 $ AB = 2AD $，则 $ \tan ∠ DBC $ 的值为$\sqrt{3}$或$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

答案： 11. $\sqrt{3}$或$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

12. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，$ △ ABC $ 的各个顶点都在格点上，则 $ \tan A $ 的值为$\dfrac{1}{2}$.

答案： 12. $\dfrac{1}{2}$

13. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ BAC = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，$ D $ 为边 $ AC $ 的中点，$ DE ⊥ BC $ 于点 $ E $，连接 $ BD $，求 $ \tan ∠ DBC $ 的值.

答案： 13. 解：$\because$ 在 $△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ C = 45^{\circ}$，$BC = \sqrt{2}AC$．
又 $\because D$ 为边 $AC$ 的中点，$\therefore AD = DC = \dfrac{1}{2}AC$．
$\because DE ⊥ BC$，$\therefore ∠ CDE = ∠ C = 45^{\circ}$，
$\therefore DE = EC = \dfrac{\sqrt{2}}{2}DC = \dfrac{\sqrt{2}}{4}AC$，
$\therefore \tan ∠ DBC = \dfrac{DE}{BE} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{4}AC}{\sqrt{2}AC - \dfrac{\sqrt{2}}{4}AC} = \dfrac{1}{3}$．

14. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 2AD $，$ E $ 为 $ AD $ 的中点，$ EF ⊥ EC $ 交 $ AB $ 于点 $ F $，连接 $ FC $，求 $ \tan ∠ ECF $ 的值.

答案： 14. 解：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore ∠ A = ∠ D = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ AEF + ∠ AFE = 90^{\circ}$．
$\because EF ⊥ EC$，$\therefore ∠ AEF + ∠ DEC = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ AFE = ∠ DEC$，$\therefore △ AEF ∽ △ DCE$，
$\therefore \dfrac{EF}{CE} = \dfrac{AE}{DC}$．
$\because$ 在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 2AD$，$E$ 为 $AD$ 的中点，
$\therefore DC = AB = 2AD = 4AE$，$\therefore \dfrac{AE}{DC} = \dfrac{1}{4}$，
$\therefore \tan ∠ ECF = \dfrac{EF}{CE} = \dfrac{AE}{DC} = \dfrac{1}{4}$．

15. 如图，在正方形 $ ABCD $ 中，$ M $ 为 $ DC $ 的中点，$ N $ 为 $ BC $ 上一点，$ BN = 3CN $，求 $ \tan ∠ MAN $ 的值.

答案：
15. 解：如答图，连接 $MN$，设 $NC = a$，则 $BN = 3a$，正方形的边长是 $4a$，$\therefore CM = DM = 2a$．

在 $Rt△ ABN$ 中，根据勾股定理，得 $AN^{2} = AB^{2} + BN^{2} = 16a^{2} + 9a^{2} = 25a^{2}$，则 $AN = 5a$．
在 $Rt△ ADM$ 中，$AM^{2} = AD^{2} + DM^{2} = 16a^{2} + 4a^{2} = 20a^{2}$，则 $AM = 2\sqrt{5}a$．
在 $Rt△ MNC$ 中，$MN^{2} = NC^{2} + MC^{2} = a^{2} + 4a^{2} = 5a^{2}$，
$\therefore MN = \sqrt{5}a$，$\therefore AN^{2} = NM^{2} + AM^{2}$，
$\therefore △ ANM$ 是直角三角形，且 $∠ AMN = 90^{\circ}$，
$\therefore \tan ∠ MAN = \dfrac{MN}{AM} = \dfrac{\sqrt{5}a}{2\sqrt{5}a} = \dfrac{1}{2}$．