《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

6. (2025·扬州)如图①,棱长为 9 cm 的密封透明正方体容器水平放置在桌面上,其中水面高度 $ BM = 7\ \mathrm{cm} $. 将此正方体放在坡角为 $ α $ 的斜坡上,此时水面 $ MN $ 恰好与点 $ A $ 齐平,其主视图如图②所示,则 $ \tanα = $$ \frac{4}{9} $.

答案： 6. $ \frac{4}{9} $

7. (2024·兴化期末)某小区开展了“行车安全,方便居民”的活动,对地下车库做了改进. 如图,$ AB ⊥ BC $,测得 $ AB = 5 $ 米,$ BC = 12 $ 米,为了居民行车安全,现将斜坡的坡角改为 $ 13^{\circ} $,即 $ ∠ ADC = 13^{\circ} $ (此时点 $ B,C,D $ 在同一条直线上). (参考数据:$ \sin 13^{\circ} \approx 0.225, \cos 13^{\circ} \approx 0.974, \tan 13^{\circ} \approx 0.231 $)
求:(1)这个车库的斜坡 $ AC $ 的长;
(2)斜坡改进后的起点 $ D $ 与原起点 $ C $ 的距离. (结果精确到 0.1 米)

答案： 7. 解:
(1) $ \because AB ⊥ BC $, $ AB = 5 $ 米, $ BC = 12 $ 米,
$ \therefore AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = 13 $(米).
答: 这个车库的斜坡 $ AC $ 的长为 13 米.
(2) 在 $ \mathrm{Rt} △ ADB $ 中, $ ∠ ADC = 13^{\circ} $, $ AB = 5 $ 米,
$ \therefore BD = \frac{AB}{\tan ∠ ADC} = \frac{5}{\tan 13^{\circ}} \approx \frac{5}{0.231} \approx 21.6 $(米),
$ \therefore DC = DB - BC = 21.6 - 12 = 9.6 $(米).
答: 斜坡改进后的起点 $ D $ 与原起点 $ C $ 的距离约为 9.6 米.

8. (2025·重庆)为加强森林防火,某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况. 如图,点 $ A,B,C,D $ 在同一平面内,点 $ A $ 是瞭望台,某一时刻,观测到甲无人机位于 $ A $ 的正东方向 10 千米的 $ B $ 处,乙无人机位于 $ A $ 的南偏西 $ 30^{\circ} $ 方向 20 千米的 $ D $ 处. 两无人机同时飞往 $ C $ 处巡视,$ D $ 位于 $ C $ 的正西方向上,$ B $ 位于 $ C $ 的北偏西 $ 30^{\circ} $ 方向上.
(参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41,\sqrt{3} \approx 1.73,\sqrt{5} \approx 2.24,\sqrt{7} \approx 2.65$)
(1)求 $ BD $ 的长度;(结果保留小数点后一位)
(2)甲、乙两无人机同时分别从点 $ B,D $ 出发沿 $ BC,DC $ 往 $ C $ 处进行巡视,乙无人机速度为甲无人机速度的 2 倍. 当两无人机相距 20 千米时,它们可以开始相互接收到信号. 请问甲无人机飞离点 $ B $ 处多少千米时,两无人机可以开始相互接收到信号? (结果保留小数点后一位)

答案：
8. 解:
(1) 如答图, 过点 $ A $ 作 $ AE ⊥ CD $ 于点 $ E $, 过点 $ B $ 作 $ BF ⊥ CD $ 于点 $ F $,
$ \therefore ∠ AED = ∠ BFC = 90^{\circ} $, 由题意, 得 $ ∠ DAE = 30^{\circ} $,
在 $ \mathrm{Rt} △ ADE $ 中, $ AE = AD · \cos ∠ DAE = 20 × \cos 30^{\circ} = 10\sqrt{3} $(千米),
$ DE = AD · \sin ∠ DAE = 20 × \sin 30^{\circ} = 10 $(千米).
由题意, 得 $ AB // CD $, $ \therefore AE ⊥ AB $, $ BF ⊥ AB $,
$ \therefore $ 四边形 $ AEFB $ 是矩形,
$ \therefore EF = AB = 10 $ 千米, $ BF = AE = 10\sqrt{3} $ 千米,
$ \therefore DF = DE + EF = 20 $ 千米,
$ \therefore BD = \sqrt{DF^{2} + BF^{2}} = \sqrt{20^{2} + (10\sqrt{3})^{2}} = 10\sqrt{7} \approx 26.5 $(千米).
答: $ BD $ 的长度约为 26.5 千米.

(2) 如答图, 当甲无人机运动到点 $ M $, 乙无人机运动到点 $ N $, 且 $ MN = 20 $ 千米时, 过点 $ M $ 作 $ MT ⊥ CD $ 于点 $ T $.
由题意, 得 $ ∠ BCF = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} $, 在 $ \mathrm{Rt} △ FBC $ 中,
$ BC = \frac{BF}{\sin ∠ BCF} = \frac{10\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} = 20 $(千米),
$ CF = \frac{BF}{\tan ∠ BCF} = \frac{10\sqrt{3}}{\tan 60^{\circ}} = 10 $(千米),
$ \therefore CD = DF + CF = 30 $ 千米.
设 $ BM = x $ 千米, 则 $ DN = 2x $ 千米, $ CM = (20 - x) $ 千米.
在 $ \mathrm{Rt} △ CMT $ 中, $ CT = CM · \cos ∠ MCT = (20 - x) · \cos 60^{\circ} = (10 - \frac{1}{2}x) $ 千米,
$ MT = CM · \sin ∠ MCT = (20 - x) · \sin 60^{\circ} = (10\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x) $ 千米,
$ \therefore TN = CD - DN - CT = 30 - 2x - (10 - \frac{1}{2}x) = (20 - \frac{3}{2}x) $ 千米.
在 $ \mathrm{Rt} △ MNT $ 中, 由勾股定理, 得 $ MN^{2} = MT^{2} + NT^{2} $,
$ \therefore 20^{2} = (10\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x)^{2} + (20 - \frac{3}{2}x)^{2} $,
$ \therefore x = 15 - 5\sqrt{5} $ 或 $ x = 15 + 5\sqrt{5} $(此时大于 $ BC $ 的长, 舍去),
$ \therefore BM = 15 - 5\sqrt{5} \approx 3.8 $(千米).
答: 甲无人机飞离点 $ B $ 处 3.8 千米时, 两无人机可以开始相互接收到信号.