《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

9. (2024·宜宾)如图,正五边形$ABCDE$的边长为$4$,则这个正五边形的对角线$AC$的长是2$\sqrt{5}$ + 2.

答案： 9. 2$\sqrt{5}$ + 2

10. (2025·浙江)如图,矩形$ABCD$内接于$\odot O$,$E$是$\overset{\frown}{AD}$上一点,连接$EB$,$EC$分别交$AD$于点$F$,$G$.若$AF = 1$,$EG = FG = 3$,则$\odot O$的直径为2$\sqrt{14}$.

答案： 10. 2$\sqrt{14}$

三、解答题(共40分)
11. (12分)如图,在$△ ABC$中,$AD$是$∠ BAC$的平分线,点$E$在边$AC$上,且$AD^2 = AE· AB$,连接$DE$.求证:$△ ABD∽△ ADE$.

答案： 11. 证明：
∵$AD^{2}=AE· AB$，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AD}$．
∵AD是$∠ BAC$的平分线，
∴$∠ BAD=∠ DAE$，
∴$△ ABD∽△ ADE$．

12. (12分)如图,在$□ ABCD$中,$E$是$DC$上一点,连接$AE$,$F$为$AE$上一点,且$∠ BFE = ∠ C$.求证:$△ ABF∽△ EAD$.

答案： 12. 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AD// BC$，
∴$∠ BAE=∠ AED$，$∠ D+∠ C=180^{\circ}$．
∵$∠ AFB+∠ BFE=180^{\circ}$，且$∠ BFE=∠ C$，
∴$∠ D=∠ AFB$，
∴$△ ABF∽△ EAD$．

13. (16分)如图,在$△ ABC$中,$AD$是$BC$边上的高,经过点$A$,$D$的$\odot O$与边$AB$,$AC$,$BC$分别交于点$E$,$F$,$G$,连接$DE$,$DF$,$GF$,且$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{EG}$.
(1) 求证:$△ ADE∽△ DCF$;
(2) 若$\odot O$的半径为$5$,$DE = 4\sqrt{5}$,$CF = 2\sqrt{5}$,求$GD$的长.

答案：
13. （1）证明：
∵AD是BC边上的高，
∴$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90^{\circ}$，
∴$∠ BDE+∠ ADE=90^{\circ}$，$∠ DAC+∠ C=90^{\circ}$．
∵$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{EG}$，
∴$∠ DAC=∠ BDE$，
∴$∠ ADE=∠ C$．
∵$∠ AED+∠ AFD=180^{\circ}$，$∠ DFC+∠ AFD=180^{\circ}$，
∴$∠ AED=∠ DFC$，
∴$△ ADE∽△ DCF$．
（2）解：如答图，连接AG，
∵$∠ ADG=90^{\circ}$，
∴AG是$\odot O$的直径，
∴$∠ AFG=∠ GFC=90^{\circ}$．
∵$\odot O$的半径为5，$DE=4\sqrt{5}$，$CF=2\sqrt{5}$，
∴$AG=10$．
∵$△ ADE∽△ DCF$，
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{DE}{CF}=\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=2$．
∵$∠ GFC=∠ ADC=90^{\circ}$，$∠ C=∠ C$，
∴$△ GFC∽△ ADC$，
∴$\frac{GF}{AD}=\frac{CF}{DC}$，
∴$\frac{GF}{CF}=\frac{AD}{DC}=2$，
∴$GF=2CF=4\sqrt{5}$，
∴$CG=\sqrt{GF^{2}+CF^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}}=10$，
$AF=\sqrt{AG^{2}-GF^{2}}=\sqrt{10^{2}-(4\sqrt{5})^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴$AC=AF+CF=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$．
∵$AD=2DC$，
∴$AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}=\sqrt{(2DC)^{2}+DC^{2}}=\sqrt{5}DC=4\sqrt{5}$，
∴$DC=4$，
∴$GD=CG - DC=10 - 4=6$，
∴GD的长是6．