《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

8. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABE=∠ C$，$DE// BC$，图中相似三角形有(C)

A.$2$对
B.$3$对
C.$4$对
D.$5$对

答案： 8. C

9. 如图，$M$是$Rt△ ABC$的斜边$BC$上不与点$B$，$C$重合的一定点，过点$M$作直线截$△ ABC$，使截得的三角形与原$△ ABC$相似，这样的直线共有3条.

答案： 9. 3

10. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，且$∠ BCE+∠ BDE=180^{\circ}$.
求证：$△ ADE∽ △ ACB$.

答案： 10. 证明：
∵ $ ∠BCE + ∠BDE = 180° $，
又
∵ $ ∠ADE + ∠BDE = 180° $，
∴ $ ∠BCE = ∠ADE $。
∵ $ ∠DAE = ∠CAB $，
∴ $ △ADE ∽ △ACB $。

11. 如图，$∠ ABD=∠ BCD=90^{\circ}$，$DB$平分$∠ ADC$，过点$B$作$BM// CD$，交$AD$于点$M$.连接$CM$交$DB$于点$N$.
(1)求证：$BD^{2}=AD· CD$；
(2)若$CD=6$，$AD=8$，求$MN$的长.

答案： 11.
(1)证明：
∵ DB 平分 $ ∠ADC $，
∴ $ ∠ADB = ∠BDC $。
∵ $ ∠ABD = ∠BCD = 90° $，
∴ $ △DAB ∽ △DBC $，
∴ $ \frac{BD}{CD} = \frac{AD}{BD} $，
∴ $ BD^2 = AD · CD $。
(2)解：由
(1)可知 $ BD^2 = AD · CD $。
∵ $ CD = 6 $，$ AD = 8 $，
∴ $ BD = 4\sqrt{3} $，
∴ $ BC = \sqrt{BD^2 - CD^2} = \sqrt{48 - 36} = 2\sqrt{3} $。
∵ $ BM // CD $，
∴ $ ∠MBD = ∠CDB = ∠ADB $，
∴ $ DM = BM $。
∵ $ ∠ADB + ∠A = ∠MBD + ∠MBA = 90° $，
∴ $ ∠A = ∠MBA $，
∴ $ AM = BM = DM = \frac{1}{2}AD = 4 $。
∵ $ △DAB ∽ △DBC $，
∴ $ ∠A = ∠DBC = ∠MBA $，
∴ $ ∠MBC = 90° $，
∴ $ CM = \sqrt{BM^2 + BC^2} = \sqrt{16 + 12} = 2\sqrt{7} $。
∵ $ ∠MBD = ∠CDB $，$ ∠MNB = ∠CND $，
∴ $ △MBN ∽ △CDN $，
∴ $ \frac{MN}{CN} = \frac{BM}{CD} $，
即 $ \frac{MN}{2\sqrt{7} - MN} = \frac{4}{6} $，解得 $ MN = \frac{4}{5}\sqrt{7} $。