《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

8. (2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律。借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观。已知一条分割线的端点 $ A $，$ B $ 分别在习字格的边 $ MN $，$ PQ $ 上，且 $ AB // NP $，“晋”字的笔画“、”的位置在 $ AB $ 的黄金分割点 $ C $ 处，且 $\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，若 $ NP = 2 \, \mathrm{cm} $，则 $ BC $ 的长为($\sqrt{5}-1$) $ \mathrm{cm} $。(结果保留根号)

答案： 8. $(\sqrt{5}-1)$

9. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ OAB $ 中，$∠ OAB = 90°$，$ OA = 2 $，$ AB = 1 $，在 $ OB $ 上截取 $ BC = AB $，在 $ AO $ 上截取 $ OP = OC $，$ OA $ 在数轴上，$ O $ 为原点，则点 $ P $ 对应的实数是$\sqrt{5}-1$，点 $ P $ 是(填“是”或“不是”)线段 $ OA $ 的黄金分割点。

答案： 9. $\sqrt{5}-1$ 是

10. (2024·扬州期末)如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数(黄金数)，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”。如图，$△ ABC$ 是“精准三角形”，$ AB = AC = 2 $，$ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $，那么 $ BD $ 的长度为$\frac{5 - 2\sqrt{5}}{2}$。

答案： 10. $\frac{5 - 2\sqrt{5}}{2}$

11. 如图，在 $△ ABC$ 中，$ AB = AC = 3 $，$ BC = 4 $，若 $ D $，$ E $ 是边 $ BC $ 的两个黄金分割点，求 $△ ADE$ 的面积。

答案：
11. 解：如答图，作$AH⊥ BC$于点$H$。

$\because AB = AC$，$BC = 4$，$\therefore BH = CH=\frac{1}{2}BC = 2$。
在$Rt△ ABH$中，$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$。
$\because D$，$E$是边$BC$的两个黄金分割点，
$\therefore CD = BE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BC = 2\sqrt{5}-2$，
$\therefore HE = BE - BH = 2\sqrt{5}-2 - 2 = 2\sqrt{5}-4$，
$\therefore DE = 2HE = 4\sqrt{5}-8$，
$\therefore S_{△ ADE}=\frac{1}{2}DE· AH=\frac{1}{2}×(4\sqrt{5}-8)×\sqrt{5}=10 - 4\sqrt{5}$。

12. 定义：宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形。如图①，已知黄金矩形 $ ABCD $ 的宽 $ AB = 1 $。
(1)黄金矩形 $ ABCD $ 的长 $ BC = $$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以 $ AB $ 为边的正方形 $ ABEF $，得到新的矩形 $ DCEF $，猜想矩形 $ DCEF $ 是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接 $ AE $，则点 $ D $ 到线段 $ AE $ 的距离为$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$。

答案： 12.
(1) $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
(2) 解：矩形$DCEF$是黄金矩形。
证明：由裁剪可知$AB = AF = BE = EF = CD = 1$，
由
(1)知$AD = BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
$\therefore FD = EC = AD - AF=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore \frac{FD}{EF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}÷1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore$矩形$DCEF$是黄金矩形。
(3) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$