《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

9. (2024·江阴月考)如图，在矩形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$DE⊥ AC$于点$E$，$∠ EDC:∠ EDA = 1:2$，且$DE = 2\sqrt{3}$，则$AC$的长是(C)

A.$2\sqrt{5}$
B.2
C.8
D.$\frac{5\sqrt{3}}{3}$

答案： 9.C

10. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = 8$，$BC = 6$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$，则$\tan∠ BCD$的值是$\frac{3}{4}$.

答案： 10.$\frac{3}{4}$

11. 我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”.如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为$45^{\circ}$，那么该三角形的面积等于2或1.

答案： 11.2或1

12. 在$△ ABC$中，$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$AC = 2\sqrt{2}$，$AD$是$BC$边上的高，$∠ ACD = 45^{\circ}$，则$BC$的长为2或6.

答案： 12.2或6

13. 如图，在$△ ABC$中，$AB = 6$，$∠ B = 30^{\circ}$，$∠ C = 15^{\circ}$，求$AC$的长.

答案： 13.解:过点C作CG⊥AB交BA的延长线于点G.
∵AB=6,∠B=30°,∠ACB=15°,
∴∠CAG=∠B+∠ACB=30°+15°=45°,
∴△ACG为等腰直角三角形.设AG=CG=x,
　　则AC=$\sqrt{2}x$,BC=2x,BG=6+x.
　　在Rt△BCG中，
∵BG²+CG²=BC²,
∴(6+x)²+x²=(2x)²,
　　解得$x_1=3+3\sqrt{3}$,$x_2=3-3\sqrt{3}$(舍去),
∴AC=$\sqrt{2}x=\sqrt{2}× (3+3\sqrt{3})=3\sqrt{2}+3\sqrt{6}$

14. 已知锐角三角形$ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边长分别为$a$，$b$，$c$，边角总满足关系式：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.
如图，在锐角三角形$ABC$中，$CD⊥ AB$于点$D$，$AC = 14$，$AB = 10$，$\sin∠ ACB=\frac{5\sqrt{3}}{14}$，求$CD$的长.

答案： 14.解:
∵$\frac{AB}{\sin∠ ACB}=\frac{AC}{\sin B}$,$\therefore \frac{10}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}=\frac{14}{\sin B}$,
∴$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\therefore ∠ B=60^{\circ}$.
∵CD⊥AB,
∴$\tan B=\frac{CD}{BD}=\sqrt{3}$,$AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}$,
∴$BD=\frac{\sqrt{3}}{3}CD$.
∵AC=14,AB=10,
∴$196=CD^{2}+(10-\frac{\sqrt{3}}{3}CD)^{2}$
　　解得$CD=8\sqrt{3}$或$CD=-3\sqrt{3}$(舍去),
∴CD的长为$8\sqrt{3}$