《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

1. (2025·宝应县二模)若点$A(m - 2,a)$，$B(4,b)$，$C(m,a)$都在二次函数$y = x^{2}-2tx + 3(t＞0)$的图像上，且$a ＜ b ＜ 3$，则$m$的取值范围是(D)

A.$3 ＜ m ＜ 4$
B.$4 ＜ m ＜ 6$
C.$m ＜ 3$或$m ＞ 6$
D.$3 ＜ m ＜ 4$或$m ＞ 6$

答案： 1. D

2. (2025·高新区二模)已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a ＜ 0)$的图像的对称轴为直线$x = t$，该二次函数图像上存在两点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，若对于$1 ＜ x_{1} ＜ 2 ＜ x_{2} ＜ 3$，始终有$y_{1} ＜ y_{2}$，则$t$的取值范围是$ t ≥ 2.5 $。

答案： 2. $ t ≥ 2.5 $

3. (2025·邗江区二模)如图，已知$A(0,3)$，$B(-4,3)$，$C(2,0)$，抛物线$y = a(x - h)^{2}+k$过点$C$，顶点$M$位于第二象限且在线段$AB$的垂直平分线上，若该抛物线与线段$AB$没有公共点，则$k$的取值范围是$ 0 ＜ k ＜ 3 $ 或 $ k ＞ 4 $。

答案： 3. $ 0 ＜ k ＜ 3 $ 或 $ k ＞ 4 $

4. (2024·秦淮区一模)二次函数$y = ax^{2}+2x + 3$($a$为常数，$a≠0$)的图像的顶点与原点$O$的距离的最小值为$ \frac{3\sqrt{2}}{2} $。

答案： 4. $ \frac{3\sqrt{2}}{2} $

5. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$(其中$a$是正整数)的图像经过点$A(-1,4)$与点$B(2,1)$，并且与$x$轴有两个不同的交点，则$b + c$的最大值为$-4$。

答案： 5. $-4$ 点拨：
∵二次函数的图像过点 $ A(-1,4) $，点 $ B(2,1) $，
∴ $ \begin{cases} a - b + c = 4, \\ 4a + 2b + c = 1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b = -a - 1, \\ c = 3 - 2a. \end{cases} $
∵二次函数的图像与 $ x $ 轴有两个不同的交点，
所以 $ b^{2} - 4ac ＞ 0 $，
即 $ (-a - 1)^{2} - 4a(3 - 2a) ＞ 0 $，即 $ (9a - 1)(a - 1) ＞ 0 $.
∵ $ a $ 是正整数，
∴ $ a ≥ 2 $，
∴ $ b + c = -3a + 2 ≤ -4 $，
∴ $ b + c $ 的最大值为 $-4$.

6. 若实数$x$，$y$满足关系式$3x^{2}+y^{2}=6x$，则$2x^{2}+y^{2}$的最大值为$ 8 $。

答案： 6. $ 8 $ 点拨：
∵ $ 3x^{2} + y^{2} = 6x $，
∴ $ 2x^{2} + y^{2} = -x^{2} + 6x = -(x - 3)^{2} + 9 $.
∵ $ 3x^{2} + y^{2} = 6x $，
∴ $ y^{2} = -3x^{2} + 6x $.
∵ $ y^{2} ≥ 0 $，
∴ $ -3x^{2} + 6x ≥ 0 $，
解得 $ 0 ≤ x ≤ 2 $，
∴当 $ x = 2 $ 时，$ 2x^{2} + y^{2} $ 取得最大值，为 $ -(2 - 3)^{2} + 9 = 8 $.

7. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$BC = 3$，$E$，$F$分别是边$BC$，$CD$上的动点，且$BE = CF$，将$△ BCF$沿着$BC$方向向右平移到$△ EGH$，连接$DH$，$DE$，当$DE = EH$时，$DH$的长是$ \frac{2\sqrt{5}}{3} $；在运动过程中，$△ DEH$面积的最小值是$ \frac{15}{8} $。

答案： 7. $ \frac{2\sqrt{5}}{3} $ $ \frac{15}{8} $
点拨：连接 $ FH $，
∵ $ △ EGH ≌ △ BCF $，
∴ $ ∠ DCB = ∠ G = 90^{\circ} $，$ FC = GH $，$ BC = EG = 3 $，
∴ $ FC // GH $，$ BE = CG $，
∴四边形 $ FCGH $ 是矩形.
∵ $ BE = CF $，
∴ $ CG = CF $，
∴四边形 $ CGHF $ 为正方形，
∴ $ FH = CF $.
设 $ BE = x $，则 $ CF = FH = HG = x $，
∴ $ EC = 3 - x $.
∵ $ DE = EH $，
∴ $ (3 - x)^{2} + 2^{2} = 3^{2} + x^{2} $，
解得 $ x = \frac{2}{3} $，
∴ $ CF = FH = \frac{2}{3} $，
∴ $ DF = 2 - x = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $，
∴ $ DH = \sqrt{DF^{2} + FH^{2}} = \sqrt{(\frac{4}{3})^{2} + (\frac{2}{3})^{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{3} $.
∵ $ S_{△ DEH} = S_{△ DEC} + S_{\mathrm{梯形}DCGH} - S_{△ EHG} = \frac{1}{2}(3 - x) × 2 + \frac{1}{2}(2 + x)x - \frac{1}{2} × 3x = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + 3 = \frac{1}{2}(x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{15}{8} $，
∴ $ △ DEH $ 面积的最小值是 $ \frac{15}{8} $.

8. (2024·徐州期末)小徐说：若要二次函数$y = x^{2}$的图像平移或翻折后经过点$(2,0)$，可有$4$个方法：①向右平移$2$个单位长度；②向下平移$4$个单位长度；③向右平移$1$个单位长度，再向下平移$1$个单位长度；④沿$x$轴翻折，再向上平移$4$个单位长度。其中正确的方法有(D)

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： 8. D

9. (2025·常州新北区模拟)如图，将抛物线$y = 2(x + 1)^{2}+1$绕原点$O$顺时针旋转$45^{\circ}$得到新曲线，新曲线与直线$y = x$交于点$M$，则点$M$的坐标为$ (\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}) $。

答案： 9. $ (\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}) $