《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

4. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是中线，$P$ 是 $AD$ 上一点，过点 $C$ 作 $CF // AB$，连接 $BP$ 并延长交 $AC$ 于点 $E$，交 $CF$ 于点 $F$。求证：$BP^2 = PE · PF$。

答案：
4. 证明: 如答图，连接$PC$。$\because AB = AC$，$AD$是中线，$\therefore AD$所在的直线是$△ ABC$的对称轴，$\therefore PC = PB$，$∠ PCE=∠ ABP$。$\because CF // AB$，$\therefore ∠ PFC=∠ ABP$，$\therefore ∠ PCE=∠ PFC$。又$\because ∠ CPE=∠ PFC$，$\therefore △ EPC ∽ △ CPF$。$\therefore \frac{PC}{PE}=\frac{PF}{PC}$，$\therefore PC^{2}=PE · PF$。$\because PC = BP$，$\therefore BP^{2}=PE · PF$。

5. 如图，在 $□ ABCD$ 中，作 $∠ BDE = ∠ C$，$DE$ 交 $BC$ 于点 $F$，交 $AB$ 的延长线于点 $E$。
(1) 求证：$△ ADE ∼ △ DBE$；
(2) 若 $DE = 9\ \mathrm{cm}$，$AE = 12\ \mathrm{cm}$，求 $DC$ 的长。

答案： 5.
(1) 证明: 在$□ ABCD$中，$∠ A=∠ C$，$\because ∠ EDB=∠ C$，$\therefore ∠ A=∠ EDB$，又$∠ E=∠ E$，$\therefore △ ADE ∽ △ DBE$。
(2) 解: 在$□ ABCD$中，$DC = AB$，由
(1) 得$△ ADE ∽ △ DBE$，$\therefore \frac{DE}{AE}=\frac{BE}{DE}$，$\therefore BE=\frac{DE^{2}}{AE}=\frac{9^{2}}{12}=\frac{27}{4}(\mathrm{cm})$，$\therefore AB = AE - BE = 12-\frac{27}{4}=\frac{21}{4}(\mathrm{cm})$，$\therefore DC=\frac{21}{4}\mathrm{cm}$。

6. (2024·淮安期末)“相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系。如图是我们研究三角形相似时常见的一类图形。如图①，在 $△ ABC$ 中，$D$ 为 $AB$ 上一点，$∠ ACD = ∠ B$，又因为 $∠ A$ 是 $△ ABC$ 和 $△ ACD$ 的公共角，可得 $△ ABC ∼ △ ACD$。
【初步应用】
如图②，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$，垂足为 $D$。若 $AC = 1$，$BC = 2$，则 $AD$ 的长为$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
【变式练习】
如图③，在 $△ ABC$ 中，$AB = 6$，$AC = 3$，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $CD$ 上，且 $∠ ACD = ∠ ABE$，$DE = 2EC$，求 $AD$ 的长；
【综合拓展】
如图④，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ ABC = 90°$，点 $C$ 在射线 $BP$ 上，$∠ CAD = 60°$，且 $AC · AD = AB^2$，过点 $D$ 作 $DE ⊥ BP$ 于点 $E$。当 $AB = 2$ 时，$DE + \frac{\sqrt{3}}{3}BE$ 的最大值为$2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

答案：
6. 【初步应用】$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【变式练习】解: 如答图，过点$E$作$EF // AC$交$AD$于点$F$。

$\because DE = 2EC$，$\therefore DC = DE + EC = 3EC$。$\because EF // AC$，$\therefore △ DEF ∽ △ DCA$，$∠ DEF=∠ ACD$，$\therefore \frac{EF}{AC}=\frac{DF}{DA}=\frac{DE}{DC}=\frac{2EC}{3EC}=\frac{2}{3}$，$\therefore EF=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}× 3 = 2$，$DF=\frac{2}{3}DA$。设$AD = 3x$，则$DF = 2x$，$AF = AD - DF = x$，$\therefore BF = AB - AF = 6 - x$。$\because ∠ ACD=∠ ABE$，$\therefore ∠ DEF=∠ ABE$。又$\because ∠ DFE=∠ EFB$，$\therefore △ DEF ∽ △ EBF$，$\therefore \frac{EF}{BF}=\frac{DF}{EF}$，即$\frac{2}{6 - x}=\frac{2x}{2}$，解得$x_{1}=3+\sqrt{7}$，$x_{2}=3-\sqrt{7}$，当$x = 3+\sqrt{7}$时，$AD = 3x = 9 + 3\sqrt{7} ＞ AB$，不符合题意，舍去；当$x = 3-\sqrt{7}$时，$AD = 3x = 9 - 3\sqrt{7} ＜ AB$，符合题意，$\therefore AD$的长为$9 - 3\sqrt{7}$。
【综合拓展】$2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$