《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

三、解答题（共44分）
8. （14分）（2025·南通）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动。
已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为 $ 60\ \mathrm{m} $ 的栅栏围成。
兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一
如图①，围成一个面积为 $ 450\ \mathrm{m}^{2} $ 的矩形花圃。
方案二
如图②，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔成为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为 $ 3\ \mathrm{m} $ 的进出口（此处不用栅栏）。
（1）求方案一中与墙垂直的边的长度；
（2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？

答案： 8. 解：
(1)设方案一中与墙垂直的边的长度为 $ x \mathrm { m } $，则与墙平行的一边长为 $ ( 60 - 2 x ) \mathrm { m } $。
由题意，得 $ x ( 60 - 2 x ) = 450 $，
解得 $ x _ { 1 } = x _ { 2 } = 15 $。
答：方案一中与墙垂直的边的长度为 $ 15 \mathrm { m } $。
(2)设方案二中与墙垂直的边的长度为 $ y \mathrm { m } $，则与墙平行的一边长为 $ ( 66 - 3 y ) \mathrm { m } $。
由题意，得花圃的面积 $ S = y ( 66 - 3 y ) = - 3 y ( y - 22 ) $，
$ \therefore $ 当 $ y = \frac { 0 + 22 } { 2 } = 11 $ 时，花圃的面积最大，
此时与墙平行的边的长度为 $ 66 - 3 y = 33 ( \mathrm { m } ) $。

9. （15分）直播购物逐渐走进了人们的生活。某电商对一款成本价为 $ 30 $ 元的商品进行直播销售，原来按每件 $ 60 $ 元销售，每天可卖出 $ 20 $ 件。通过市场调查发现，每件商品售价每降低 $ 1 $ 元，日销售量增加 $ 2 $ 件。商家想尽快销售完该款商品，采取降价措施增加销量。
（1）若日利润保持不变，每件售价应定为多少元？
（2）每件商品降价多少元时，日利润最大？

答案： 9. 解：
(1)设每件售价应定为 $ x $ 元，则每件的销售利润为 $ ( x - 30 ) $ 元，日销售量为 $ 20 + ( 60 - x ) × 2 = ( 140 - 2 x ) $ 件，
根据题意，得 $ ( x - 30 ) ( 140 - 2 x ) = ( 60 - 30 ) × 20 $，
整理，得 $ x ^ { 2 } - 100 x + 2400 = 0 $，
解得 $ x _ { 1 } = 40 $，$ x _ { 2 } = 60 $。
因为采取降价措施增加销量，所以 $ x = 40 $。
答：每件售价应定为 $ 40 $ 元。
(2)设日利润为 $ w $ 元，
由
(1)知 $ w = ( x - 30 ) ( 140 - 2 x ) = - 2 x ^ { 2 } + 200 x - 4200 = - 2 ( x - 50 ) ^ { 2 } + 800 $，
当 $ x = 50 $ 时，$ w $ 有最大值 $ 800 $，
则 $ 60 - 50 = 10 $（元）。
故每件商品降价 $ 10 $ 元时，日利润最大，为 $ 800 $ 元。

10. （15分）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^{2} $ 后得到的新抛物线经过点 $ A(0,-\frac{5}{3}) $ 和 $ B(5,0) $。
（1）求平移后新抛物线的函数表达式；
（2）直线 $ x = m(m ＞ 0) $ 与新抛物线交于点 $ P $，与原抛物线交于点 $ Q $。如果 $ PQ ＜ 3 $，求 $ m $ 的取值范围。

答案： 10. 解：
(1)设平移抛物线 $ y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $ 后得到的新抛物线的函数表达式为 $ y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + b x + c $，
把 $ A ( 0 , - \frac { 5 } { 3 } ) $ 和 $ B ( 5,0 ) $ 代入，
得 $ \{ \begin{array} { l } { c = - \frac { 5 } { 3 } , } \\ { \frac { 25 } { 3 } + 5 b + c = 0 , } \end{array} $ 解得 $ \{ \begin{array} { l } { b = - \frac { 4 } { 3 } , } \\ { c = - \frac { 5 } { 3 } , } \end{array} $
$ \therefore $ 新抛物线的函数表达式为 $ y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 5 } { 3 } $。
(2)由题意知 $ Q ( m , \frac { 1 } { 3 } m ^ { 2 } ) $，$ P ( m , \frac { 1 } { 3 } m ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } m - \frac { 5 } { 3 } ) $，
$ \because m ＞ 0 $，$ \therefore P Q = \frac { 1 } { 3 } m ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } m ^ { 2 } + \frac { 4 } { 3 } m + \frac { 5 } { 3 } = \frac { 4 } { 3 } m + \frac { 5 } { 3 } $。
$ \because P Q ＜ 3 $，$ \therefore \frac { 4 } { 3 } m + \frac { 5 } { 3 } ＜ 3 $，
$ \therefore m ＜ 1 $，$ \therefore 0 ＜ m ＜ 1 $。