《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

1. 当$a-1 ≤ x ≤ a$时,函数$y=x^{2}-2x+1$的最小值为1,则$a$的值为 (D)

A.1
B.2
C.1或2
D.0或3

答案： 1.D

2. 函数$y=-x^{2}+2ax-2$在$-1 ≤ x ≤ 3$时有最大值6,则实数$a$的值是−$\frac{9}{2}$或$2\sqrt{2}$.

答案： 2.−$\frac{9}{2}$或$2\sqrt{2}$

3. 如图①,抛物线$y=-x^{2}+bx$与$x$轴交于点$A$,与直线$y=-x$交于点$B(4,-4)$,点$C(0,-4)$在$y$轴上.点$P$从点$B$出发,沿线段$BO$方向匀速运动,运动到点$O$时停止.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图②,点$P$从点$B$开始运动时,点$Q$从点$O$同时出发,以与点$P$相同的速度沿$x$轴正方向匀速运动,点$P$停止运动时,点$Q$也停止运动.连接$BQ,PC$,求$CP+BQ$的最小值.
]

答案：
3.解:
(1)
∵抛物线$y = -x^{2} + bx$过点$B(4, -4)$，
∴$-16 + 4b = -4$，
∴$b = 3$，
∴$y = -x^{2} + 3x$。
(2)如答图，由题意，得$BP = OQ$，连接$BC$；
　在$OA$上方作$△ OMQ$，使得$∠ MOQ = 45^{\circ}$，$OM = BC$，连接$MB$。
　　　　　　　
∵$OC = BC = 4$，$BC ⊥ OC$，
∴$∠ CBP = 45^{\circ}$，
∴$∠ CBP = ∠ MOQ$
∵$BP = OQ$，$∠ CBP = ∠ MOQ$，$BC = OM$，
∴$△ CBP ≌ △ MOQ(SAS)$，
∴$CP = MQ$，
∴$CP + BQ = MQ + BQ ≥ MB$（当$M$，$Q$，$B$三点共线时最短），
∴$CP + BQ$的最小值为$MB$的长。
∵$∠ MOB = ∠ MOQ + ∠ BOQ = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$，
∴$MB = \sqrt{OM^{2} + OB^{2}} = \sqrt{4^{2} + (4\sqrt{2})^{2}} = 4\sqrt{3}$
　即$CP + BQ$的最小值为$4\sqrt{3}$

4. 如图,抛物线经过点$A(1,0),B(5,0),C(0,\dfrac{10}{3})$三点,顶点为$D$,设$E(x,y)$是抛物线上一动点,且在$x$轴下方.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当点$E$运动时,试求$△ OEB$的面积$S$与$x$之间的函数表达式,并求出面积$S$的最大值;
(3)在$y$轴上确定一点$M$,使点$M$到$D,B$两点的距离之和$d=MD+MB$最小,求点$M$的坐标.
]

答案：
4.解:
(1)设抛物线的函数表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，
　则$\begin{cases}0 = a + b + c \\ 0 = 25a + 5b + c \\ \frac{10}{3} = c\end{cases}$解得$\begin{cases}a = \frac{2}{3} \\ b = -4 \\ c = \frac{10}{3}\end{cases}$
　故抛物线的函数表达式为$y = \frac{2}{3}x^{2} - 4x + \frac{10}{3}$。
(2)过点$E$作$EF ⊥ x$轴，垂足为$F$，如答图①所示。
　　　　　　　　
　点$E$的坐标为$(x, \frac{2}{3}x^{2} - 4x + \frac{10}{3})$，点$F$的坐标为$(x, 0)$，
∴$EF = 0 - (\frac{2}{3}x^{2} - 4x + \frac{10}{3}) = -\frac{2}{3}x^{2} + 4x - \frac{10}{3}$。
∵$E$是抛物线上一动点，且在$x$轴下方，
∴$1 ＜ x ＜ 5$。
　$△ OEB$的面积$S = \frac{1}{2}OB · EF = \frac{1}{2} × 5 × (-\frac{2}{3}x^{2} + 4x - \frac{10}{3}) = -\frac{5}{3}(x - 3)^{2} + \frac{20}{3}(1 ＜ x ＜ 5)$。
　当$x = 3$时，$S$有最大值$\frac{20}{3}$。
(3)作点$D$关于$y$轴的对称点$D'$，连接$BD'$交$y$轴于点$M$；连接$MD$，如答图②所示。
　　　　　　
∵抛物线的函数表达式为$y = \frac{2}{3}x^{2} - 4x + \frac{10}{3} = \frac{2}{3}(x - 3)^{2} - \frac{8}{3}$，
∴点$D$的坐标为$(3, -\frac{8}{3})$，
∴点$D'$的坐标为$(-3, -\frac{8}{3})$。
　由对称的性质可知，$MD = MD'$，
∴$MB + MD = MB + MD'$，
　当$B$，$M$，$D'$三点共线时，$MB + MD'$最小
　设直线$BD'$的函数表达式为$y = kx + m$，
　　$\begin{cases}0 = 5k + m \\ -\frac{8}{3} = -3k + m\end{cases}$解得$\begin{cases}k = \frac{1}{3} \\ m = -\frac{5}{3}\end{cases}$
∴直线$BD'$的函数表达式为$y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$。
　当$x = 0$时，$y = -\frac{5}{3}$，
∴点$M$的坐标为$(0, -\frac{5}{3})$。