《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

1. 如图，在Rt△AOB中，点M，N分别是直角边BO，AO上的动点，连接MN，且MN=2，点P是MN的中点，连接AP，BP，若AO=3，OB=4，求△ABP面积的最小值.

答案：
1. 解:如解图，连接OP。
∵在Rt△AOB中，AO = 3，OB = 4，
∴AB = 5。
在Rt△MON中，
∵MN = 2，P为MN的中点，
∴OP = 1。
以点O为圆心，OP长为半径作⊙O，过点O作OQ'⊥AB于点Q'，交⊙O于点P'，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接OQ。
∵OP + PQ≥OQ≥OQ' = OP' + P'Q'，OP = OP'，
∴PQ≥P'Q'。
当点P位于点P'的位置时，PQ的值最小，最小值为P'Q'的长，此时△ABP的面积取得最小值。
∵S△ABO = $\frac{1}{2}$AB·OQ' = $\frac{1}{2}$AO·OB，
∴OQ' = $\frac{12}{5}$，
∴P'Q' = OQ' - OP' = $\frac{7}{5}$，
∴S△ABP最小 = $\frac{1}{2}$AB·P'Q' = $\frac{1}{2}$×5×$\frac{7}{5}$ = $\frac{7}{2}$，
∴△ABP面积的最小值为$\frac{7}{2}$。

2. 如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，E是AB的中点，将BE绕着点B顺时针旋转得到BF，点E的对应点为点F，连接AF，CF，若cos∠DAC=3/5，BC=3，求点F到直线AC距离的最小值.

答案：
2. 解:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D = 90°，BC = AD = 3，AB = CD。
∵cos∠DAC = $\frac{3}{5}$，
∴AC = 5，在Rt△ABC中，AB = $\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}$ = 4。
∵E是AB的中点，
∴BE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$CD = 2。
如解图，以点B为圆心，BE长为半径作圆，点F在⊙B上运动，过点B作BG⊥AC于点G。
当B，F，G三点共线时，点F到直线AC的距离最小。
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·BC = $\frac{1}{2}$AC·BG，即4×3 = 5BG，
∴BG = $\frac{12}{5}$。
∵BF = BE = 2，
∴FG = BG - BF = $\frac{12}{5}$ - 2 = $\frac{2}{5}$，
∴点F到直线AC距离的最小值为$\frac{2}{5}$。

3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=2√{3}，点P是菱形内一动点，且∠PAO=∠PDO，连接BP，求BP的最小值.

答案：
3. 解:
∵四边形ABCD是菱形，AC = 6，BD = 2$\sqrt{3}$，
∴AC⊥BD，OA = OC = 3，OB = OD = $\sqrt{3}$，AB = AD，∠DAO = ∠BAO。
在Rt△ADO中，tan∠DAO = $\frac{OD}{OA}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DAO = 30°，
∴∠DAB = 60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB = AD = BD = 2$\sqrt{3}$。
∵∠PAO = ∠PDO，
∴∠DAP + ∠ADP = ∠DAO + ∠PAO + ∠ADP = ∠DAO + ∠PDO + ∠ADP = ∠DAO + ∠ADO = 90°，
∴∠APD = 90°。
∴如解图，点P是以AD为直径的圆的$\stackrel\frown{DE}$上的点（不与D，E重合），设此圆心为Q，连接BQ，交$\stackrel\frown{DE}$于点P，此时PB的长最小。
∵△ABD是等边三角形，点Q为AD的中点，
∴BQ⊥AD，
∴BQ = $\sqrt{3}$DQ = $\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$AD = 3。
∵BQ⊥AD，AQ = QD，
∴AP = PD，
∴∠DAP = ∠ADP = 45°，
∴AQ = PQ = $\sqrt{3}$，
∴BP = BQ - PQ = 3 - $\sqrt{3}$，
∴BP的最小值为3 - $\sqrt{3}$。