《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

6. 如图,在菱形 $ ABCD $ 中,按如下步骤作图:①分别以点 $ A,B $ 为圆心,大于 $ \dfrac{1}{2}AB $ 的长为半径作弧,两弧交点分别为 $ E,F $;②作直线 $ EF $,交对角线 $ AC $ 于点 $ G $;③连接 $ DG $.若 $ ∠B = 75^{\circ} $,则 $ ∠AGD $ 的度数为 (D)

A.$ 60^{\circ} $
B.$ 65^{\circ} $
C.$ 70^{\circ} $
D.$ 75^{\circ} $

答案： 6. D

例 一题多设问 如图,四边形 $ ABCD $ 是平行四边形,用直尺和圆规作 $ ∠ABC $ 的平分线交 $ CD $ 于点 $ E $,在 $ AB $ 上截取 $ BF = BC $,连接 $ EF $.
(1)依据题意补全图形,判断四边形 $ CBFE $ 的形状并证明你的结论(保留作图痕迹);

(2)连接 $ CF $,与 $ BE $ 相交于点 $ O $.若 $ AB = 8,BC = 6,∠A = 120^{\circ} $.
①求四边形 $ CBFE $ 的面积;
②连接 $ DO $,求 $ \tan ∠CDO $ 的值;
(3)连接 $ AC $,与 $ BE $ 相交于点 $ M $,与 $ EF $ 相交于点 $ N $,若 $ CE = 2DE $,求 $ \dfrac{S_{△ANF}}{S_{△CEM}} $ 的值.
【思维教练】(3) 由 $ △ANF \sim △CNE $,结合 $ CE = 2DE $,可得出 $ AN $ 与 $ CN $ 的数量关系,再由 $ △CME \sim △AMB $,得出 $ AM $ 与 $ CM $ 的数量关系,进而转化出 $ S_{△ANF} $ 与 $ S_{△CNE} $,以及 $ S_{△CME} $ 与 $ S_{△CNE} $ 的比值,即可求解.

答案： 例
(1)补全图形略,四边形CBFE是菱形,证明略；
(2)①四边形CBFE的面积为$18\sqrt{3}$；
②$\tan\angle CDO$的值为$\frac{3\sqrt{3}}{13}$；
(3)$\frac{S_{\triangle ANF}}{S_{\triangle CEM}}$的值为$\frac{5}{12}$