《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，N是边BC上一点，M为AB边上的动点，连接MN，D，E分别为CN，MN的中点，连接DE，求DE的最小值。

答案： 例1　$DE$的最小值为$\frac{12}{5}$.

例2 如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠ADB=60°，P，K分别是BD，AB上的动点，求PA+PK的最小值。

答案：
例2　解:如解图,作点$A$关于$BD$的对称点$A'$,过点$A'$作$A'K\perp AB$交$BD$于点$P$,交$AB$于点$K$,连接$AA'$交$BD$于点$M$,由对称的性质可知,$AP=A'P$,$DP$垂直平分$AA'$,
$\therefore PA + PK = PA' + PK\geqslant A'K$,
$\therefore$当$A'$,$P$,$K$三点共线且$A'K\perp AB$时,$PA + PK$的值最小.
$\because \angle ADB = 60°$,$\therefore \angle DAA' = 30°$.
$\because AD = 4$,
$\therefore AM = AD·\cos\angle DAA' = 2\sqrt {3}$,
$\therefore AA' = 4\sqrt {3}$.
$\because A'K\perp AB$,$DA\perp AB$,
$\therefore A'K// AD$,
$\therefore \angle AA'K = \angle DAM = 30°$.
在${\rm Rt}\triangle AA'K$中,$A'K = AA'·\cos\angle AA'K = 6$,
$\therefore PA + PK$的最小值为$6$.

例3 （人教八下习题改编）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E是AD的中点，P是BD上一动点，连接AP，EP，求AP+PE的最小值。

答案：
例3　解:如解图,连接$PC$,$CE$,$CE$交$BD$于点$P'$,
$\because$四边形$ABCD$是菱形,
$\therefore BD$垂直平分$AC$,$\therefore PA = PC$,
$\therefore AP + PE = PC + PE\geqslant CE$,
$\therefore$当$C$,$P$,$E$三点共线,即点$P$与点$P'$重合时,$AP + PE$的值最小,最小值为$CE$的长.
$\because$四边形$ABCD$是菱形,$\angle ABC = 60°$,
$\therefore AB = AD = CD = 2$,$\angle ADC = 60°$,
$\therefore \triangle ACD$为等边三角形.
$\because E$是$AD$的中点,
$\therefore CE\perp AD$,
$\therefore CE = CD·\sin\angle CDE = \sqrt {3}$,
$\therefore AP + PE$的最小值是$\sqrt {3}$.