《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

例7 (2022课标新增)过直线外一点作已知直线的平行线
已知：直线 $l$ 及直线 $l$ 外一点 $P$。
求作：直线 $PQ$，使得 $PQ // l$(根据作法使用直尺和圆规作图)。
作法：(1)在直线 $l$ 上取一点 $A$，作射线 $AP$；
(2)以点 $A$ 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 $AP$，$l$ 于点 $M$，$N$；
(3)以点 $P$ 为圆心，①AM(或AN)长为半径作弧，交射线 $AP$ 于点 $M'$，可得到 $AM = PM'$；
(4)以点 $M'$ 为圆心，②MN长为半径作弧，与前弧相交于点 $Q$；
(5)连接 $PQ$，则直线 $PQ$ 即为所求作的直线。
(1)请填空；
(2)请证明 $PQ // l$，并说明依据。

答案：
$(1)$ 填空
① $AM$（或$AN$）；② $MN$
$(2)$ 证明 $PQ// l$
解（证明）：
连接 $M'Q$。
由作法可知：$AM = PM'$，$MN = M'Q$，$AN = PQ$（因为$AN$和$PQ$都是通过相同半径的弧相交得到的对应边）。
在$\triangle AMN$和$\triangle PM'Q$中：
$\begin{cases}AM = PM'\\MN = M'Q\\AN = PQ\end{cases}$
所以$\triangle AMN\cong\triangle PM'Q$（$SSS$，边 - 边 - 边全等判定定理）。
则$\angle MAN=\angle QPM'$（全等三角形对应角相等）。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$PQ// l$。
综上，$(1)$ ① $AM$（或$AN$）；② $MN$；$(2)$ 证明过程如上述，依据是“$SSS$全等判定定理”和“同位角相等，两直线平行” 。

1. (2024河北5题)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 $BD$ 一定是 $\triangle ABC$ 的(B)

A.角平分线
B.高线
C.中位线
D.中线

答案： 1.B

2. (2020河北6题)如图①，已知 $\angle ABC$，用尺规作它的角平分线。
如图②，步骤如下，
第一步：以 $B$ 为圆心，以 $a$ 为半径画弧，分别交射线 $BA$，$BC$ 于点 $D$，$E$；
第二步：分别以 $D$，$E$ 为圆心，以 $b$ 为半径画弧，两弧在 $\angle ABC$ 内部交于点 $P$；
第三步：画射线 $BP$，射线 $BP$ 即为所求。
下列正确的是(B)

A.$a$，$b$ 均无限制
B.$a ＞ 0$，$b ＞ \frac{1}{2}DE$ 的长
C.$a$ 有最小限制，$b$ 无限制
D.$a \geq 0$，$b ＜ \frac{1}{2}DE$ 的长

答案： 2.B

3. (2018河北6题)尺规作图要求：Ⅰ. 过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ. 作线段的垂直平分线；Ⅲ. 过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ. 作角的平分线。
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是(D)

A.①—Ⅳ，②—Ⅱ，③—Ⅰ，④—Ⅲ
B.①—Ⅳ，②—Ⅲ，③—Ⅱ，④—Ⅰ
C.①—Ⅱ，②—Ⅳ，③—Ⅲ，④—Ⅰ
D.①—Ⅳ，②—Ⅰ，③—Ⅱ，④—Ⅲ

答案： 3.D

4. (2024邯郸模拟)如图，在平面内，使用尺规过一点 $P$ 作直线 $MN$ 的垂线，根据作图痕迹判断(A)

A.点 $P$ 在点 $O$ 处
B.点 $P$ 在点 $A$ 处
C.点 $P$ 在点 $B$ 处
D.无法确定点 $P$ 的位置

答案： 4.A