《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

6. (2023河北6题)若$k$为任意整数，则$(2k + 3)^{2}-4k^{2}$的值总能(B)

A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除

答案： 6.B

7. (2020河北9题)若$\frac{(9^{2}-1)(11^{2}-1)}{k}=8×10×12$，则$k=$(B)

A.$12$
B.$10$
C.$8$
D.$6$

答案： 7.B

8. （2020河北21题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的$A$区就会自动加上$a^{2}$，同时$B$区就会自动减去$3a$，且均显示化简后的结果. 已知$A$，$B$两区初始显示的分别是25和$-16$，如图.
如：第一次按键后，$A$，$B$两区分别显示：
[img]
（1）从初始状态按2次后，分别求$A$，$B$两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算$A$，$B$两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由.

答案： 1. （1）
对于$A$区：
初始$A$区为$25$，每按一次加$a^{2}$，按$2$次后，$A$区显示的结果为$25 + 2a^{2}$。
对于$B$区：
初始$B$区为$-16$，每按一次减$3a$，按$2$次后，$B$区显示的结果为$-16-2×3a=-16 - 6a$。
2. （2）
解：
按$4$次后，$A$区显示的结果为$25 + 4a^{2}$，$B$区显示的结果为$-16-4×3a=-16 - 12a$。
$A$、$B$两区代数式的和为$(25 + 4a^{2})+(-16 - 12a)$。
化简：
根据整式的加法法则$(25 + 4a^{2})+(-16 - 12a)=4a^{2}-12a + 25 - 16$。
进一步整理得$4a^{2}-12a + 9$。
由完全平方公式$(m - n)^2=m^{2}-2mn + n^{2}$，这里$m = 2a$，$n = 3$，则$4a^{2}-12a + 9=(2a - 3)^{2}$。
因为任何数的平方都具有非负性，即$(2a - 3)^{2}\geqslant0$（当且仅当$2a−3 = 0$，即$a=\frac{3}{2}$时取等号）。
所以$A$、$B$两区代数式的和不能为负数。
综上，（1）$A$区：$25 + 2a^{2}$，$B$区：$-16 - 6a$；（2）$A$、$B$两区代数式的和为$(2a - 3)^{2}$，不能为负数，理由如上述。

9. （2018河北20题）嘉淇准备完成题目：
$\boxed{化简：(\boxed{?}x^{2}+6x + 8)-(6x + 5x^{2}+2).}$发现系数“$\boxed{?}$”印刷不清楚.
（1）他把“$\boxed{?}$”猜成3，请你化简：$(3x^{2}+6x + 8)-(6x + 5x^{2}+2)$；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数. ”通过计算说明原题中“$\boxed{?}$”是几？

答案： 1. （1）
解：
对$(3x^{2}+6x + 8)-(6x + 5x^{2}+2)$进行化简。
根据去括号法则$a-(b + c)=a - b - c$，可得：
$3x^{2}+6x + 8-6x - 5x^{2}-2$。
再根据合并同类项法则$ax^{2}+bx^{2}=(a + b)x^{2}$，$ax+bx=(a + b)x$（这里$6x-6x = 0$）：
$(3x^{2}-5x^{2})+(6x - 6x)+(8 - 2)$。
即$(3 - 5)x^{2}+0x+6$。
所以$(3x^{2}+6x + 8)-(6x + 5x^{2}+2)=-2x^{2}+6$。
2. （2）
解：设“$\boxed{?}$”为$a$。
则$(ax^{2}+6x + 8)-(6x + 5x^{2}+2)$。
去括号得：$ax^{2}+6x + 8-6x - 5x^{2}-2$。
合并同类项得：$(ax^{2}-5x^{2})+(6x - 6x)+(8 - 2)$，即$(a - 5)x^{2}+6$。
因为标准答案的结果是常数，即含$x^{2}$项的系数为$0$。
所以$a−5 = 0$。
根据等式的性质，在等式$a−5 = 0$两边同时加$5$，得$a=5$。
综上，（1）化简结果为$-2x^{2}+6$；（2）原题中“$\boxed{?}$”是$5$。

10. (2018河北13题)若$2^{n}+2^{n}+2^{n}+2^{n}=2$，则$n=$(A)

A.$-1$
B.$-2$
C.$0$
D.$\frac{1}{4}$

答案： 10.A

11. (2020河北11题)若$k$为正整数，则$(\underbrace{k + k+·s + k}_{k个k})^{k}=$(A)

A.$k^{2k}$
B.$k^{2k + 1}$
C.$2k^{k}$
D.$k^{2 + k}$

答案： 11.A

12. (2024河北8题)若$a$，$b$是正整数，且满足$\underbrace{2^{a}+2^{a}+·s + 2^{a}}_{8个2^{a}相加}=\underbrace{2^{b}×2^{b}×·s×2^{b}}_{8个2^{b}相乘}$，则$a$与$b$的关系正确的是(A)

A.$a + 3=8b$
B.$3a=8b$
C.$a + 3=b^{8}$
D.$3a=8 + b$

答案： 12.A

13. (2019河北17题)若$7^{-2}×7^{-1}×7^{0}=7^{p}$，则$p$的值为-3.

答案： 13.-3

14. 若$a$为正整数，则$(\underbrace{a· a··s· a}_{a个a})^{2}+(\underbrace{a· a··s· a}_{a个a})^{2}=$(D)

A.$a^{2a}$
B.$2a^{a}$
C.$a^{2 + a}$
D.$2a^{2a}$

答案： 14.D

15. 若$\underbrace{3^{a}+3^{a}+·s + 3^{a}}_{9个3^{a}}=\underbrace{3^{2}·3^{2}·s·s3^{2}}_{9个3^{2}}$，则$a$的值为(C)

A.$2$
B.$9$
C.$16$
D.$19$

答案： 15.C

16. (2025张家口模拟)若$\underbrace{3^{a}+3^{a}+·s + 3^{a}}_{81个3^{a}相加}=\underbrace{3^{a}×3^{a}×·s×3^{a}}_{n个3^{a}相乘}$，其中$a$，$n$都是大于1的整数，$a ＜ n$，则$a^{n}=$8.

答案： 16.8

17. (2020河北3题)对于①$x - 3xy=x(1 - 3y)$，②$(x + 3)(x - 1)=x^{2}+2x - 3$，从左到右的变形，表述正确的是(C)

A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解

答案： 17.C