《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

7. (人教七上练习改编)如图，矩形的长和宽分别为4和3，根据图中所标注数据，阴影部分的面积$S$用含$x$的代数式可以表示为(A)

A.$3 + x$
B.$x - 3$
C.$9 + x$
D.$9 - x$
 

答案： 7.A

8. (2018河北18题)若$a$，$b$互为相反数，则$a^{2}-b^{2}=$0.

答案： 8.0

9. (2025河北13题)计算：$2a^{2}+4a^{2}=$6a^{2}.

答案： $9.6a^{2}$

10. (人教七上习题改编)若$2^{4}×2^{4}=2^{a}$，$3^{5}+3^{5}+3^{5}=3^{b}$，则$a - b$的值是2.

答案： 10.2

11. (冀教七下习题改编)因式分解：
(1)$9a^{2}-4b^{2}=$(3a+2b)(3a-2b)；(2)$4a^{2}-8ab + 4b^{2}=$4(a-b)^{2}；(3)$a^{2}+a - 6=$(a+3)(a-2).

答案： 11.
(1)(3a+2b)(3a-2b)；$(2)4(a-b)^{2}；$
(3)(a+3)(a-2)

12. 已知$a^{2}-2a = 2$，则代数式$2a^{2}-4a - 1$的值为3.

答案： 12.3

13. (冀教七下习题改编)若$x - y=-3$，$xy=-2$，则$x^{2}+y^{2}=$5，$(x + y)^{2}=$1.

答案： 13.5,1

14. (冀教七下数学活动改编)如图，在边长为$a$的正方形中挖掉一个边长为$b$的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形(无重叠部分)，通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).

答案： $14.a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

例 如图①是宽为$x$，长为$y(x ＜ y)$的大长方形纸片. 嘉嘉将长方形纸片分割为7小块，除阴影部分$A$，$B$外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，且较短的边长为4，分割方式如图②.
(1)图②中，每个小长方形的较长边为y-12；
(2)图②中，阴影部分$A$的一条较短边和阴影部分$B$的一条较短边之和为2x-y+4；
(3)嘉嘉发现图②中阴影部分的周长和与$y$无关. 请验证这个结论.

题后反思

淇淇说她可以将该大长方形分割为如图所示的6块，除阴影部分外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为1，你认为淇淇的说法正确吗？若正确，求出阴影部分面积；若不正确，说明理由.

答案：  
解：
已知小长方形较短边长为$4$，由（1）知小长方形较长边为$y - 12$。
计算阴影部分$A$的周长$C_{A}$：
阴影部分$A$的长为$y - 12$，宽为$x-(4 + 4)=x - 8$，根据长方形周长公式$C = 2×(长 + 宽)$，则$C_{A}=2×[(y - 12)+(x - 8)]=2×(y + x-20)=2y + 2x-40$。
计算阴影部分$B$的周长$C_{B}$：
阴影部分$B$的长为$y-3×4=y - 12$，宽为$x-(y - 12)$，则$C_{B}=2×[(y - 12)+(x-(y - 12))]=2×(y - 12+x - y + 12)=2x$。
计算阴影部分$A$、$B$的周长和$C$：
$C = C_{A}+C_{B}=(2y + 2x-40)+2x=4x-40$。
因为$C = 4x-40$中不含$y$，所以图②中阴影部分的周长和与$y$无关。
题后反思
解：淇淇的说法不正确。
设小长方形较长边为$a$，
由大长方形的宽$x$可得：$x=1 + 1+a$，即$a=x - 2$；
由大长方形的长$y$可得：$y=a + 3×1=a + 3$，把$a=x - 2$代入$y=a + 3$得$y=x - 2+3=x + 1$。
因为$x\lt y$，而此时$y=x + 1$，若按照淇淇的分割方式，大长方形的长$y$与宽$x$的关系不符合实际分割情况（例如从长方形的长的构成看，无法满足除阴影部分外其余$5$块小长方形形状、大小完全相同的条件 ），所以淇淇的说法不正确。
综上，（3）验证成立；淇淇说法不正确。