《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

例1 如图,在$ \triangle ABC $中,$ AD \perp BC $于点$ D $,且$ BD = \frac{1}{2}CD $,$ E $是$ AD $的中点,若$ BE = 2 $,求$ AC $的长.

答案： 例1 $AC = 4$.

变式 如图,在$ \triangle ABC $中,$ AD $是$ \triangle ABC $中$ BC $边上的中线,点$ E $是$ AD $上一点. 连接$ BE $并延长交$ AC $于点$ F $,若$ AF = EF $,求证:$ BE = AC $.

答案：

证明：延长 AD 至点 G，使 DG = AD，连接 BG，

在△BDG 和△CDA 中，

∵ BD = CD，∠BDG = ∠CDA，DG = DA，

∴ △BDG ≌ △CDA，

∴ BG = AC，∠G = ∠CAD，

∵ AF = EF，
∴ ∠CAD = ∠AEF，

又
∵ ∠BEG = ∠AEF，

∴ ∠G = ∠BEG，
∴ BG = BE，

∴ AC = BE。

例2 如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,$ AD $平分$ \angle BAC $交$ BC $于点$ D $. 若$ CD = 1 $,求$ \triangle ABD $的面积.

答案： 例2 $S_{\triangle ABD} = \sqrt{3}$.

变式 如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle BAC = 60^{\circ} $,$ AD $是$ \angle BAC $的平分线,且$ AB = AC + CD $,求$ \angle ACB $的度数.

答案： 变式 $\angle ACB = 80^{\circ}$.