《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

1. (2022 河北 23 题)如图,点 $ P(a,3) $ 在抛物线 $ C:y = 4 - (6 - x)^{2} $ 上,且在 $ C $ 的对称轴右侧.
(1)写出 $ C $ 的对称轴和 $ y $ 的最大值,并求 $ a $ 的值;
(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点 $ P $ 及 $ C $ 的一段,分别记为 $ P',C' $.平移该胶片,使 $ C' $ 所在抛物线对应的函数恰为 $ y = -x^{2} + 6x - 9 $,求点 $ P' $ 移动的最短路程.

答案： 1. 解：
(1)$C$的对称轴为直线$x = 6$，$y$
的最大值为4，
将点$P(a,3)$代入$y = - ( x - 6 ) ^ { 2 } + 4$，可得$3 = - ( a - 6 ) ^ { 2 } + 4$，
解得$a = 5$或$a = 7$，
$\because$点$P$在$C$的对称轴右侧，
$\therefore a ＞ 6$，
$\therefore a = 7$；
(2)由
(1)可知点$P$的坐标为$(7,3)$，$C$的顶点坐标为$(6,4)$，
$\because y = - x ^ { 2 } + 6x - 9 = - ( x - 3 ) ^ { 2 }$，
$\therefore C'$的顶点坐标为$(3,0)$，
$\therefore$由$C$平移到$C'$的平移方式可以
为先向左平移3个单位长度，再
向下平移4个单位长度，
$\therefore$平移后点$P'$的坐标为$(4,-1)$，
$\therefore$点$P'$移动的最短路程为
$\sqrt { ( 7 - 4 ) ^ { 2 } + [ 3 - ( - 1 ) ] ^ { 2 } } = 5$.

2. 万唯原创 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ L_{1}:y_{1} = ax^{2} - 2ax + c(a \neq 0) $ 经过 $ A(0,-3) $,$ B(3,0) $ 两点,将抛物线 $ L_{1} $ 先向右平移 $ m(m ＞ 0) $ 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度得到抛物线 $ L_{2} $,记抛物线 $ L_{2} $ 的顶点为 $ C $.
(1)当 $ m = 3 $ 时,求抛物线 $ L_{2} $ 的解析式;
(2)若点 $ P(4,n) $ 在抛物线 $ L_{1} $ 上.
①连接 $ CP $,记线段 $ CP $ 与抛物线 $ L_{2} $ 的交点为 $ D $,当 $ D $ 为线段 $ CP $ 的中点时,求 $ m $ 的值;
②记抛物线 $ L_{1} $ 对称轴右侧部分与抛物线 $ L_{2} $ 对称轴左侧部分交于点 $ Q $,点 $ Q $ 的纵坐标为 $ q $,当 $ q \leqslant n $ 时,求 $ m $ 的取值范围.

答案： 2. 解：
(1)$\because$抛物线$L _ { 1 } : y _ { 1 } = a x ^ { 2 } - 2 a x + c ( a \neq 0 )$经过$A(0,-3),B(3,0)$
两点，
$\therefore \left\{ \begin{array}{l} c = - 3 , \\ 9 a - 6 a + c = 0 , \end{array} \right.$
解得$\left\{ \begin{array}{l} c = - 3 , \\ a = 1 , \end{array} \right.$
$\therefore$抛物线$L _ { 1 } : y _ { 1 } = x ^ { 2 } - 2x - 3 = ( x - 1 ) ^ { 2 } - 4$.
$\because$抛物线$L _ { 1 }$先向右平移$m$个单
位长度，再向上平移5个单位长
度得到抛物线$L _ { 2 }$，且$m = 3$，
$\therefore$抛物线$L _ { 2 }$的解析式为$y _ { 2 } = ( x - 1 - 3 ) ^ { 2 } - 4 + 5 = x ^ { 2 } - 8x + 17$；
(2)①$\because$点$P(4,n)$在抛物线
$L _ { 1 }$上，
$\therefore$将$P(4,n)$代入$y _ { 1 } = ( x - 1 ) ^ { 2 } - 4$，
解得$n = 5$，
$\therefore P(4,5)$.
由
(1)可得抛物线$L _ { 2 }$的解析式为
$y _ { 2 } = ( x - 1 - m ) ^ { 2 } + 1$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(1 + m,1)$.
$\because D$为线段$CP$的中点，
$\therefore$点$D$的坐标为$(\frac { 5 + m } { 2 } , 3 )$.
$\because$点$D$在抛物线$L _ { 2 } : y _ { 2 } = ( x - 1 - m ) ^ { 2 } + 1$上，
$\therefore$将$(\frac { 5 + m } { 2 } , 3 )$代入，得$(\frac { 3 - m } { 2 } ) ^ { 2 } + 1 = 3$，
解得$m = 3 - 2 \sqrt { 2 }$或$m = 3 + 2 \sqrt { 2 }$；
②由
(2)①可知$P(4,5)$，即$n = 5$，
$\therefore$当抛物线$L _ { 2 }$经过点$P(4,5)$
时，$q = 5$.
$\because q \leqslant n$，$\therefore q \leqslant 5$，
当点$Q$为抛物线$L _ { 2 }$的顶点时，即
与点$C$重合，
此时点$Q$的坐标为$(1 + m,1)$，将其代入抛物线$L _ { 1 } : y = ( x - 1 ) ^ { 2 } - 4$
中，解得$m = \sqrt { 5 }$(负值已舍去)，
$\therefore$当$q \leqslant n$时，$m$的取值范围为$\sqrt { 5 } ＜ m \leqslant 5$.