《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

例 一题多设问 如图①,在$□ ABCD$中,点$E$,$F$分别在$BC$,$AD$上,$BE = DF$,$AC = EF$.
(1)求证:四边形$AECF$是矩形;
(2)若$AE = BE$,$AB = 2$,$\tan∠ACB = \dfrac{1}{2}$,求$BC$的长;
(3)如图②,在(2)的条件下,连接$BD$,求$BD$的长;
(4)如图③,连接$BF$,若$BF$平分$∠ABC$,$CF = 4$,$\sin D = \dfrac{4}{5}$,求$AD$的长.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AD// BC$。
又因为$BE = DF$，所以$AD - DF = BC - BE$，即$AF = EC$。
又$AF// EC$，所以四边形$AECF$是平行四边形。
因为$AC = EF$，所以平行四边形$AECF$是矩形。
2. （2）解：
因为$AE = BE$，所以$\angle B=\angle BAE$。
因为四边形$AECF$是矩形，所以$\angle AEC = 90^{\circ}$，即$\angle B+\angle BAE = 90^{\circ}$，所以$\angle B = 45^{\circ}$。
过点$A$作$AH\perp BC$于点$H$，则$\triangle ABH$是等腰直角三角形。
因为$AB = 2$，所以$AH = BH=\sqrt{2}$。
因为$\tan\angle ACB=\frac{1}{2}$，即$\frac{AH}{CH}=\frac{1}{2}$，所以$CH = 2\sqrt{2}$。
所以$BC=BH + CH=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
3. （3）解：
过点$D$作$DG\perp BC$交$BC$的延长线于点$G$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AB = CD = 2$，$\angle B=\angle DCG = 45^{\circ}$。
所以$\triangle DCG$是等腰直角三角形，$DG = CG=\sqrt{2}$。
又$BC = 3\sqrt{2}$，所以$BG=BC + CG=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
在$Rt\triangle BDG$中，$BD=\sqrt{DG^{2}+BG^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(4\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2 + 32}=\sqrt{34}$。
4. （4）解：
因为$BF$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABF=\angle CBF$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$\angle D=\angle ABC$，$AD = BC$。
所以$\angle AFB=\angle CBF$，则$\angle ABF=\angle AFB$，所以$AB = AF$。
因为四边形$AECF$是矩形，所以$\angle AEC = 90^{\circ}$，$AF = EC$。
设$AB = AF = x$，则$EC = x$，$BC=AD=x + 4$。
因为$\sin D=\sin\angle ABC=\frac{4}{5}$，过点$A$作$AM\perp BC$于点$M$。
则$\sin\angle ABC=\frac{AM}{AB}=\frac{4}{5}$，设$AM = 4k$，$AB = 5k$，$BM = 3k$。
又$AE = BE$，$AM\perp BC$，所以$BM = ME = 3k$，$EC=5k-3k = 2k$。
因为$EC=x$，$BC=x + 4$，$BC=6k$，$x = 2k$，所以$6k=2k + 4$，解得$k = 1$。
所以$AD=6$。
综上，答案依次为：（1）证明见上述过程；（2）$3\sqrt{2}$；（3）$\sqrt{34}$；（4）$6$。