《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

例1 已知抛物线$L:y = ax^{2}+bx + c$的函数值$y$和自变量$x$的部分对应取值如下表：

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点$(-4,y_{1}),(-2,y_{2}),(4,y_{3})$在该抛物线上，则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系为$y_1＜y_2=y_3$；
(3)若将抛物线$L$平移，使平移后的抛物线对应的函数解析式为$y = -x^{2}+4x - 1$，求抛物线顶点平移的最短路程；
(4)已知点$A(n,2),B(n + 1,2)$，若线段$AB$与抛物线有交点，求$n$的取值范围；
(5)若抛物线与$x$轴交于点$C,D$，点$D$在点$C$右侧，与$y$轴交于点$E$，连接$DE$，直线$l// DE$，且与抛物线交于点$M,N$，试说明点$M,N$的横坐标之和为定值。
【思维教练】(5)先求解直线$DE$的解析式，由直线$l// DE$，可得出直线$l$的解析式为$y = -x + b$，将直线$l$与抛物线交点问题转化为一元二次方程，利用根与系数关系即可求解。

答案： 例1
(1)抛物线的函数解析式为$y =-x^{2}+2x+3$;
(2)$y_1＜y_2=y_3$;
(3)抛物线顶点平移的最短路程 为$\sqrt{2}$;
(4)$-\sqrt{2}\leq n\leq 1-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}\leq n\leq 1+\sqrt{2}$;
(5)略.