《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

1.（2022河北25题）如图，平面直角坐标系中，线段$AB$的端点$A(-8,19)$，$B(6,5)$。
（1）求$AB$所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数$y=\boxed{m}x+\boxed{n}(m\neq0,y\geq0)$中，分别输入$m$和$n$的值，便得到射线$CD$，其中$C(c,0)$。当$c = 2$时，会从$C$处弹出一个光点$P$，并沿$CD$飞行；当$c\neq2$时，只发出射线而无光点弹出。
①若有光点$P$弹出，试推算$m$，$n$应满足的数量关系；
②当有光点$P$弹出，并击中线段$AB$上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段$AB$就会发光。求此时

整

数

$m$的个数。

答案： 1. （1）
设$AB$所在直线的解析式为$y = kx + b$。
把$A(-8,19)$，$B(6,5)$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}-8k + b = 19\\6k + b = 5\end{cases}$。
用$6k + b = 5$减去$-8k + b = 19$：
$(6k + b)-(-8k + b)=5 - 19$。
$6k + b + 8k - b=-14$。
$14k=-14$，解得$k=-1$。
把$k = - 1$代入$6k + b = 5$得：$6×(-1)+b = 5$，$b = 11$。
所以$AB$所在直线的解析式为$y=-x + 11$。
2. （2）
①
当$c = 2$时，$C(2,0)$，把$C(2,0)$代入$y = mx + n$得$2m + n = 0$，所以$m$，$n$应满足的数量关系是$n=-2m$。
②
由①知$y = mx-2m=m(x - 2)$。
设光点$P$击中线段$AB$上的整点为$(x,y)$，则$y=-x + 11$（$-8\leq x\leq6$且$x$为整数），又$y=m(x - 2)$，所以$-x + 11=m(x - 2)$。
整理得$m=\frac{-x + 11}{x - 2}=\frac{-(x - 2)+9}{x - 2}=-1+\frac{9}{x - 2}$。
因为$m$为整数，$x$为整数，$-8\leq x\leq6$。
当$x - 2=\pm1$时：
若$x - 2 = 1$，$x = 3$，$m=-1 + 9=8$；若$x - 2=-1$，$x = 1$，$m=-1-9=-10$。
当$x - 2=\pm3$时：
若$x - 2 = 3$，$x = 5$，$m=-1 + 3=2$；若$x - 2=-3$，$x=-1$，$m=-1-3=-4$。
当$x - 2=\pm9$时：
若$x - 2 = 9$，$x = 11$（舍去，因为$x\leq6$）；若$x - 2=-9$，$x=-7$，$m=-1-1=-2$。
所以整数$m$的个数是$5$个。
综上，（1）$y=-x + 11$；（2）①$n=-2m$；②$5$。

2.（2023河北25题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点$(x,y)$移动到点$(x + 2,y + 1)$称为一次甲方式；从点$(x,y)$移动到点$(x + 1,y + 2)$称为一次乙方式。
例点$P$从原点$O$出发连续移动$2$次：若都按甲方式，最终移动到点$M(4,2)$；若都按乙方式，最终移动到点$N(2,4)$；若按$1$次甲方式和$1$次乙方式，最终移动到点$E(3,3)$。
（1）设直线$l_1$经过上例中的点$M$，$N$，求$l_1$的解析式，并直接写出将$l_1$向上平移$9$个单位长度得到的直线$l_2$的解析式；
（2）点$P$从原点$O$出发连续移动$10$次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点$Q(x,y)$。其中，按甲方式移动了$m$次。
①用含$m$的式子分别表示$x$，$y$；
②请说明：无论$m$怎样变化，点$Q$都在一条确定的直线上。设这条直线为$l_3$，在图中

直

接

画出$l_3$的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线$l_1$，$l_2$，$l_3$上分别有一个动点$A$，$B$，$C$，横坐标依次为$a$，$b$，$c$，若$A$，$B$，$C$三点始终在一条直线上，直接写出此时$a$，$b$，$c$之间的关系式。

答案：
解：
(1)设直线$l_1$的解析式为$y=kx+b(k\neq0)$，
将$M(4,2)$，$N(2,4)$代入$y=kx+b$中，
得$\begin{cases}4k + b = 2\\2k + b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = 6\end{cases}$
$\therefore$直线$l_1$的解析式为$y=-x+6$，直线$l_2$的解析式为$y=-x+15$；
(2)①$\because$按甲方式移动了$m$次，$\therefore$按乙方式移动了$(10 - m)$次。根据题意可知，$x = 2m + (10 - m)=m + 10$，$y = m + 2(10 - m)=-m + 20$；
②$\because x + y = m + 10 + (-m + 20)=30$，$\therefore y = -x + 30$，
$\therefore$无论$m$怎样变化，点$Q$都在直线$y=-x+30$上。
画出直线$l_3$的图象如解图；

(3)$5a + 3c = 8b$。
[解法提示]$\because$点$A$，$B$，$C$分别在$y=-x+6$，$y=-x+15$，$y=-x+30$的图象上，点$A$，$B$，$C$的横坐标分别为$a$，$b$，$c$，$\therefore A(a,-a + 6)$，$B(b,-b + 15)$，$C(c,-c + 30)$，$\because$点$A$，$B$，$C$在同一条直线上，$\therefore$直线$AB$与直线$BC$的$k$值相等，即$\frac{(-b + 15)-(-a + 6)}{b - a}=\frac{(-c + 30)-(-b + 15)}{c - b}$，化简得$5a + 3c = 8b$。