《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

例 一题多设问 如图,抛物线 $ L:y = -\dfrac{1}{4}x^{2} + bx + c $ 过点 $ (2,4) $,点 $ (0,1) $,顶点为点 $ P $,与 $ x $ 轴交于点 $ A,B $(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧).抛物线 $ G:y = \dfrac{1}{4}x^{2} + (1 - m)x - 4m $ 的顶点为点 $ Q $,与 $ x $ 轴交于点 $ M,F $,点 $ F $ 在 $ M $ 的右侧,与 $ y $ 轴交于点 $ N $,已知 $ m ＞ 1 $.
(1)(2025 年 24 题考法)求 $ b,c $ 的值;
(2)若直线 $ l:y = -mx - 4m $.
①[2024 年 26(2)题考法]小明得出结论:抛物线 $ G $ 与直线 $ l $ 有两个公共点,且公共点都在坐标轴上,请你通过计算判断正误,并求点 $ F $ 的坐标;
②当 $ m = 2 $ 时,将直线 $ l $ 沿 $ x $ 轴向右平移得到 $ l' $,当点 $ P,Q $ 到直线 $ l' $ 的距离相等时,求直线 $ l $ 平移的距离;
(3)[2021 年 25(3)题考法]$ E $ 是抛物线 $ L $ 上一点,其横坐标与点 $ F $ 的横坐标相同,若抛物线 $ L $ 在点 $ A,E $ 之间的最高点到最低点的竖直方向上的距离为 $ 4m - 1 $,求 $ m $ 的值;
(4)[2024 年 26(4)题考法]若抛物线 $ L $,抛物线 $ G $ 的两个交点的横坐标分别为 $ s,t $,用含 $ m $ 的代数式直接表示 $ s,t $ 的和.

【思维教练】(3)由抛物线 $ G $ 可得点 $ F $ 的横坐标,进一步得出点 $ E $ 的坐标.分类讨论:①点 $ F $ 在点 $ A,B $ 之间;②点 $ F $ 在点 $ B $ 右侧,即可求解.

答案： 例 解：
(1)将点(2,4)，(0,1)代入
$y = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + b x + c$中，
得$\left\{ \begin{array}{l} 4 = - \frac { 1 } { 4 } × 2 ^ { 2 } + 2 b + c , \\ 1 = c , \end{array} \right.$解得$\left\{ \begin{array}{l} b = 2 , \\ c = 1 , \end{array} \right.$
$\therefore b$的值为2,$c$的值为1;
(2)①在直线$l$上，当$y = 0$时，$x = - 4$，
$\therefore$直线$l$与$x$轴的交点为$(-4,0)$，
当$x = 0$时，$y = - 4 m$，
$\therefore$直线$l$与$y$轴的交点
为$(0,-4m)$，
对于抛物线$G$：当$x = 0$时，$y = - 4 m$，
当$x = - 4$时，$y = \frac { 1 } { 4 } × (-4)^2 + (1 - m) × (-4) - 4 m = 0$，
$\therefore$小明的结论正确.
$\because$抛物线$G$的对称轴为直线$x = \frac { 1 - m } { 2 × \frac { 1 } { 4 } } = 2 ( m - 1 )$，
$\therefore$点$(-4,0)$与直线$x = 2(m - 1)$之间的距离为$2(m - 1) + 4 = 2m + 2$，
$\therefore$点$F$的横坐标为$2m + 2 + 2(m - 1) = 4m$，
$\therefore$点$F(4m,0)$；
②当$m = 2$时，抛物线$G$：$y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } - x - 8 = - \frac { 1 } { 4 } ( x - 2 ) ^ { 2 } - 9$，直线$l$：$y = - 2x - 8$，
$\therefore$点$Q(2,-9)$.
由
(1)可得抛物线$L$的函数解析
式为$y = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 2 x + 1 = - \frac { 1 } { 4 } ( x - 4 ) ^ { 2 } + 5$，$\therefore$点$P(4,5)$.
$\therefore P,Q$的中点坐标为$(3,-2)$.
$\because$将直线$l$沿$x$轴向右平移得
到$l'$，
$\therefore$设直线$l'$的函数解析式为$y = - 2x + t$，
当点$P,Q$到直线$l'$的距离相等
时，直线$l'$经过$PQ$的中点.
将$(3,-2)$代入$y = - 2x + t$中，得
$-2 = - 2 × 3 + t$，解得$t = 4$，
$\therefore$直线$l'$的函数解析式为$y = - 2x + 4$，
$\therefore$直线$l'$与$x$轴的交点为$(2,0)$.
由
(2)①知，直线$l$与$x$轴的交点
为$(-4,0)$，
$\therefore$直线$l$的平移距离为6；
(3)令$y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + ( 1 - m ) x - 4 m = 0$，
解得$x _ { 1 } = - 4 , x _ { 2 } = 4 m$，
$\because m ＞ 1$，$\therefore 4m ＞ 4$.
$\because$点$F$在点$M$右侧，
$\therefore$点$F$的横坐标为$4m$.
$\because E$是抛物线$L$上一点，其横坐
标与点$F$的横坐标相同，
$\therefore$点$E$的横坐标为$4m$.
由
(1)可得抛物线$L$的函数解析
式为$y = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 2x + 1$，
当$x = 4m$时，$y = - \frac { 1 } { 4 } · ( 4 m ) ^ { 2 } + 2 · ( 4 m ) + 1 = - 4 m ^ { 2 } + 8 m + 1$，
$\therefore$点$E(4m,-4m^2 + 8m + 1)$.
$\because$抛物线$L$：$y = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 2x + 1 = - \frac { 1 } { 4 } ( x - 4 ) ^ { 2 } + 5$，
$\therefore$令$y = 0$，得$- \frac { 1 } { 4 } ( x - 4 ) ^ { 2 } + 5 = 0$，
解得$x _ { 1 } = 4 - 2 \sqrt { 5 } , x _ { 2 } = 4 + 2 \sqrt { 5 }$.
$\because$点$A$在点$B$的左侧，
$\therefore$点$A(4 - 2 \sqrt { 5 } , 0 )$，点$B(4 + 2 \sqrt { 5 } , 0 )$.
当$4 - 2 \sqrt { 5 } ＜ 4m ＜ 4 + 2 \sqrt { 5 }$时，
抛物线$L$在点$A,E$之间的最高点
为顶点$P(4,5)$，最低点为点$A(4 - 2 \sqrt { 5 } , 0 )$.
$\because$这两个点的竖直方向上的距离
为$4m - 1$，
$\therefore 4m - 1 = 5$，解得$m = \frac { 3 } { 2 }$，
当$4m ＞ 4 + 2 \sqrt { 5 }$时，
抛物线$L$在点$A,E$之间的最高点
为顶点$P(4,5)$，最低点为点$E(4m,-4m^2 + 8m + 1)$.
$\because$这两个点的竖直方向上的距离
为$4m - 1$，
$\therefore 4m - 1 = 5 - ( - 4 m ^ { 2 } + 8 m + 1 )$，
解得$m _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$（舍去），$m _ { 2 } = \frac { 5 } { 2 }$；
综上所述，抛物线$L$在点$A,E$之
间的最高点与最低点的竖直方向
上的距离为$4m - 1$时，$m$的值为
$\frac { 3 } { 2 }$或$\frac { 5 } { 2 }$；
(4)$s + t = 2m + 2$.