《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

5. 万唯原创 若一个等边三角形的周长是 6，则该等边三角形的面积是(B)

A.6
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.3

答案： 5.B

6. (冀教八上习题改编)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B=\angle C = 30^{\circ}$，$D$，$E$为边$BC$上的两点，连接$AD$，$AE$，$AD = BD$，$AE = CE$，若$\triangle ADE$的周长为 6，则$BD$的长为(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 6.B

例 1 一题多设问 如图，点$D$为$\triangle ABC$的内心，连接$BD$，$CD$。
（1）求证：$\angle BDC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$；
（2）如图①，过点$D$作$EF// BC$，分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$。求证：$\triangle AEF$的周长$= AB + AC$；
（3）如图②，分别过点$D$分别作$DG// AB$，$DH// AC$交$BC$于点$G$，$H$。若$\triangle DGH$的周长为 5，求$BC$的长。

答案： 1. （1）证明：
因为点$D$为$\triangle ABC$的内心，所以$BD$平分$\angle ABC$，$CD$平分$\angle ACB$。
则$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle DCB = \frac{1}{2}\angle ACB$。
在$\triangle BDC$中，根据三角形内角和定理$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC - \angle DCB$。
又因为$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A$，所以$\angle DBC+\angle DCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$。
那么$\angle BDC=180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$。
2. （2）证明：
因为$EF// BC$，所以$\angle EDB=\angle DBC$。
又因为$BD$平分$\angle ABC$，即$\angle EBD=\angle DBC$，所以$\angle EDB=\angle EBD$，则$EB = ED$。
同理可得$\angle FDC=\angle FCD$，所以$FD = FC$。
$\triangle AEF$的周长$C_{\triangle AEF}=AE + EF+AF$，而$EF = ED + FD$。
所以$C_{\triangle AEF}=AE + ED+FD + AF=(AE + EB)+(AF + FC)=AB + AC$。
3. （3）解：
因为$DG// AB$，所以$\angle GBD=\angle BDG$，则$BG = DG$。
因为$DH// AC$，所以$\angle HCD=\angle CDH$，则$CH = DH$。
已知$\triangle DGH$的周长$C_{\triangle DGH}=DG + GH+DH = 5$。
又因为$DG + GH+DH=BG + GH+CH$，而$BG + GH+CH = BC$，所以$BC = 5$。
综上，（1）得证$\angle BDC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$；（2）得证$\triangle AEF$的周长$=AB + AC$；（3）$BC$的长为$5$。

例 2 一题多设问 如图，$\triangle ABC$为等腰三角形，$AB = AC$，$BE$平分$\angle ABC$交$AC$于点$E$，点$E$在$AB$的垂直平分线上。
（1）请利用尺规作图在图①中作出$AB$的垂直平分线$EF$（保留作图痕迹，不写作图过程）；
（2）在（1）的条件下，求证：$\triangle ABE$和$\triangle BCE$均是等腰三角形；
（3）在（1）的条件下，设$BC = y$，$AC = 1$，求$y$的值；
（4）如图②，在（3）的条件下，将$BC$延长至点$M$，使$CM = AC = 1$，求$\frac{BC}{AM}$的值。

答案： 1. （1）
作图：分别以$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧分别相交，过两交点作直线$EF$，则$EF$为$AB$的垂直平分线（作图痕迹略）。
2. （2）
证明：
因为$EF$是$AB$的垂直平分线，所以$EA = EB$，则$\triangle ABE$是等腰三角形。
设$\angle A=\alpha$，因为$EA = EB$，所以$\angle ABE=\angle A=\alpha$。
又因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABC = 2\angle ABE = 2\alpha$。
因为$AB = AC$，所以$\angle C=\angle ABC = 2\alpha$。
则$\angle BEC=\angle A+\angle ABE=\alpha+\alpha = 2\alpha$。
所以$\angle C=\angle BEC$，所以$BE = BC$，则$\triangle BCE$是等腰三角形。
3. （3）
解：
因为$AB = AC = 1$，$EA = EB = BC = y$，所以$EC=AC - AE=1 - y$。
由（2）知$\triangle ABC\sim\triangle BEC$（两角分别相等的两个三角形相似，$\angle C$为公共角，$\angle A=\angle EBC$）。
所以$\frac{BC}{AC}=\frac{EC}{BC}$，即$\frac{y}{1}=\frac{1 - y}{y}$。
整理得$y^{2}+y - 1 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b = 1$，$c=-1$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得$y=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
因为$y\gt0$，所以$y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
4. （4）
解：
因为$AC = CM = 1$，所以$\angle M=\angle CAM$。
又因为$\angle ACB=\angle M+\angle CAM = 2\angle M$，且$\angle ACB = 2\angle A$（由（2）知），所以$\angle M=\angle A$。
又$\angle ABM=\angle MBA$，所以$\triangle ABM\sim\triangle CBA$。
则$\frac{AB}{BM}=\frac{BC}{AB}$，已知$AB = AC = 1$，$BC = y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$BM=BC + CM=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
设$AM=x$，由$\triangle ABC\sim\triangle BEC$已得关系，再根据$\triangle ABM\sim\triangle CBA$，$AB^{2}=BC· BM$，且$\frac{BC}{AM}=\frac{AB}{BM}$（由$\triangle ABM\sim\triangle CBA$）。
$\frac{BC}{AM}=\frac{AB}{BM}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（分子分母同乘$\sqrt{5}-1$进行分母有理化）。
综上，（1）作图略；（2）证明见上述过程；（3）$y = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$；（4）$\frac{BC}{AM}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。