《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

例（2020河北24题改编）表格中的两组对应值满足一次函数$y = kx + b$，现画出了它的图象为直线$l$，如图，某同学为观察$k$，$b$对图象的影响，将上面函数中的$k$与$b$交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线$l'$。
（1）（2023年25题考法）试说明直线$l:y = kx + b$与直线$l':y = bx + k$的交点坐标为$(1,k + b)$；
（2）（2020年24题考法）求直线$l'$被直线$l$和$y$轴所截线段的长；
（3）（2020年24题考法）设直线$y = a$与直线$l$，$l'$及$y$轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，求$a$的值；
（4）点$D(m,mn - 3)$在直线$l''$上。
①（2025样卷21题考法）直线$l$与直线$l'$分别与$x$轴交于点$E$，$F$，两直线的交点为点$G$，当直线$l''$与$\triangle EFG$有交点时，求$n$的取值范围；
②（2018年24题考法）当直线$l$，$l'$，$l''$不能围成三角形时，求$n$的值。

【思维教练】②由直线$l$，$l'$，$l''$不能围成三角形，可得直线$l''$与直线$l$或直线$l'$平行，或者直线$l''$过点$G$，进行分类讨论，即可求解。

答案：
(1)略；
(2)直线$l'$被直线$l$和$y$轴所截线段的长为$\sqrt{2}$；
(3)$a$的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{17}{5}$或$7$；
(4)①$n$的取值范围为$n\geq7$或$n\leq -1$；
②$n$的值为$1$或$3$或$7$。