《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

5. 已知$\triangle ABC$(如图①),按图②、图③所示的尺规作图痕迹,(不需借助三角形全等)就能推出四边形$ABCD$是平行四边形的依据是 (B)
 

A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

答案： 5. B

6. (人教八下习题改编)如图,在$□ ABCD$中,$AB=4$,$BC=6$,$∠ABC=60^{\circ}$,对角线$AC$,$BD$交于点$O$,直线$EF$过点$O$,且分别交$AD$,$BC$于点$E$,$F$,则阴影部分的面积为 (B)

A.3
B.$3\sqrt{3}$
C.6
D.$6\sqrt{3}$

答案： 6. B

例 一题多设问 如图①,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$DF$平分$∠ADC$,交$BC$于点$E$,交$AB$的延长线于点$F$.
(1)求证:$AD=AF$;

【思维教练】(1)利用“平行+角平分线→等腰三角形”的结论得到等角、等边.
(2)请从①$∠BEF=∠ADE$;②$AB=BF$,$BF=DC$中任选一组作为已知条件,求证:四边形$ABCD$为平行四边形;
(3)若$AD=6$,$AB=3$,$∠A=120^{\circ}$,求$BF$的长和$\triangle ADF$的面积;
(4)如图②,连接$AE$,若四边形$ABCD$是平行四边形,$E$是$BC$的中点,$CE=2$,$AE=3$,求$DF$的长.

【思维教练】(3)根据线段的和差关系得到$BF=AF-AB$,过点$D$作$AF$的垂线构造直角三角形,通过解直角三角形及三角形面积公式进而求解.
【思维教练】(4)通过证明$\triangle BEF\cong \triangle CED$得到$EF=ED$,由(1)知$AF=AD$,故根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求解.

答案： 1. （1）证明：
因为$AB// CD$，所以$\angle F=\angle FDC$。
又因为$DF$平分$\angle ADC$，所以$\angle ADF = \angle FDC$。
则$\angle F=\angle ADF$，所以$AD = AF$（等角对等边）。
2. （2）选②$AB = BF$，$BF = DC$作为已知条件证明：
因为$AB = BF$，$BF = DC$，所以$AB = DC$。
又因为$AB// CD$，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$为平行四边形。
3. （3）
因为$AD = AF = 6$，$AB = 3$，所以$BF=AF - AB=6 - 3 = 3$。
过点$D$作$DH\perp AF$于点$H$。
因为$\angle A = 120^{\circ}$，所以$\angle DAH = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADH$中，$\sin\angle DAH=\frac{DH}{AD}$，$\cos\angle DAH=\frac{AH}{AD}$。
则$DH = AD\sin60^{\circ}=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，$AH = AD\cos60^{\circ}=6×\frac{1}{2}=3$。
$AF = 6$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}AF· DH=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
4. （4）
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AB = CD$。
所以$\angle F=\angle FDC$，$\angle FBE=\angle DCE$。
又因为$E$是$BC$中点，所以$BE = CE = 2$。
在$\triangle BEF$和$\triangle CED$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle F=\angle FDC\\\angle FBE=\angle DCE\\BE = CE\end{array}\right.$，所以$\triangle BEF\cong\triangle CED(AAS)$。
则$EF = ED$。
由（1）知$AF = AD$，所以$AE\perp DF$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt\triangle ADE$中，$AD = AF$，$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}$（勾股定理），因为$AD = AF$，$AE = 3$，$AD = AF$，由（1）$AD = AF$，且$\triangle BEF\cong\triangle CED$，$DF = 2DE$。
又因为$AD = AF$，$AB// CD$，$E$是$BC$中点，$BE = CE = 2$，$\triangle BEF\cong\triangle CED$，$CD = BF$，$AD = AF$，在$Rt\triangle ADE$中，$AD = AF$，$AE\perp DF$，$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}$，因为$AD = AF$，$AB// CD$，$BC = 2CE = 4$，$AD = BC = 4$（平行四边形对边相等）。
则$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，所以$DF = 2DE = 2\sqrt{7}$。
综上，（1）得证$AD = AF$；（2）选②可证四边形$ABCD$是平行四边形；（3）$BF = 3$，$S_{\triangle ADF}=9\sqrt{3}$；（4）$DF = 2\sqrt{7}$。