《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

例4 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=140°，点E，F分别为BC和CD上的动点（点E，F不重合），连接AE，AF，EF。当△AEF的周长最小时，求∠EAF的度数。

答案：
例4　解:如解图,作点$A$关于$BC$和$CD$的对称点$A'$,$A''$,连接$BA'$,$DA''$,$A'A''$,$A'A''$分别交$BC$于点$E$,交$CD$于点$F$,则$\triangle AEF$的周长为$AE + EF + AF = A'E + EF + A''F\geqslant A'A''$,当$A'$,$E$,$F$,$A''$四点共线时,$A'A''$的长即为$\triangle AEF$周长的最小值.
$\because \angle BAD = 140°$,
$\therefore \angle A' + \angle A'' = 180° - \angle BAD = 40°$.
$\because \angle A' = \angle EAA'$,$\angle FAD = \angle A''$,
$\therefore \angle EAA' + \angle A''AF = 40°$,
$\therefore \angle EAF = 140° - 40° = 100°$.

1. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，D，E分别是AC，AB上的动点，且CD=AE，连接DE，F是DE的中点，连接AF，求AF的最小值。

答案：
1. 解:如解图,过点$D$作$DP// AB$,交$BC$于点$P$,连接$EP$,$FP$,
$\because DP// AB$,
$\therefore \angle B = \angle DPC$.
$\because AB = AC$,
$\therefore \angle B = \angle C$,
$\therefore \angle DPC = \angle C$,
$\therefore DP = CD$.
$\because CD = AE$,$\therefore DP = AE$,
$\therefore$四边形$AEPD$是平行四边形,
$\therefore AF = \frac {1} {2}AP$,
当$AP\perp BC$时,$AP$最小,此时$AF$最小,最小值为$\frac {1} {2}AP$的长.
$\because AB = AC$,
$\therefore$当$AP\perp BC$时,$P$为$BC$的中点,此时$BP = PC = 1$,
$\therefore AP = \sqrt {AC^{2} - PC^{2}} = 2\sqrt {2}$,
$\therefore AF$的最小值为$\sqrt {2}$.

2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，求PQ-OQ的最大值。

答案：
2. 解:如解图,连接$PO$并延长交$BC$于点$E$,过点$E$作$EF\perp AD$于点$F$,当点$Q$与点$E$重合时,即当$P$,$O$,$Q$三点共线时,$PQ - OQ$取得最大值,最大值为$PO$的长.
在矩形$ABCD$中,
$\because O$为对角线$AC$的中点,$AP = 2$,
$\therefore AP// CE$,$AO = OC$,
$\therefore \angle PAO = \angle ECO$.
又$\because \angle AOP = \angle COE$,
$\therefore \triangle PAO\cong \triangle ECO(ASA)$,
$\therefore EC = AP = 2$,$PO = OE = \frac {1} {2}PE$.
$\because \angle BCD = \angle CDA = 90°$,
$\therefore$四边形$EFDC$为矩形,
$\therefore DF = CE = 2$,$EF = CD = AB = 4$,
$\therefore PF = AD - AP - DF = 2$,
$\therefore PE = \sqrt {PF^{2} + EF^{2}} = 2\sqrt {5}$,
$\therefore PO = \frac {1} {2}PE = \sqrt {5}$,
$\therefore PQ - OQ$的最大值为$\sqrt {5}$.