《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

例（武老师快答App·答疑高频试题92次）（2025样卷）如图，斜坡AC上种有若干树木，底部有一喷水管BC，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状。建立恰当平面直角坐标系，得到点A$(0,2)$，点B$(6,0.5)$。已知喷水管BC及所有树木都与OC垂直，抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{8}x^{2}+bx+c$。
(1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标；
(2)若抛物线恰好过小树MN的树顶N，点M在斜坡AC上，且点A到M，N两点距离相等，求M点坐标；
(3)若DE，MN为两棵等高小树（MN在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点。
①当$MN=1.25$时，求DM长；
②直接写出M横坐标m的取值范围。

【思维教练】②当$x=6$时，可计算出MN树高的最小临界值，再计算出点M的最小取值范围，最后结合抛物线的对称轴，即可确定点M横坐标的取值范围。

答案： 例
(1)抛物线解析式为$y = -\frac{1}{8}(x - 2)^2 + \frac{5}{2}$，抛物线的顶点坐标为$(2,\frac{5}{2})$；
(2)$M(\frac{4}{3},\frac{14}{9})$；
(3)①$DM = \frac{20}{9}$；
②$\frac{2}{3} ＜ m ＜ \frac{10}{3}$