《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

例 新考法 跨物理学科 （2025保定模拟）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，某数学小组对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现交通量和时间的变化规律符合一次函数的特征，其中 $ y_2 = -x + 33 $。
（1）求 $ y_1 $ 与 $ x $ 的函数解析式；
（2）在13时：通过计算判断 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系；
（3）如图，该小组希望设置“可变车道”来改善拥堵状况，根据交通量情况改变可变车道的行车方向. 单位时间内双向交通总量为 $ v = y_1 + y_2 $，交通量较大的为 $ y $，经查阅资料得：当 $ y \geq \frac{2}{3}v $ 时，是严重拥堵，需使可变车道行车方向与交通量较大的方向相同，以改善交通情况. 该路段从8时至20时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵.

答案： 1. （1）
解：设$y_1 = kx + b$（$k\neq0$）。
把$(8,10)$，$(11,16)$代入$y_1 = kx + b$得：
$\begin{cases}8k + b = 10\\11k + b = 16\end{cases}$。
用$11k + b = 16$减去$8k + b = 10$得：
$(11k + b)-(8k + b)=16 - 10$。
$11k + b - 8k - b = 6$，即$3k = 6$，解得$k = 2$。
把$k = 2$代入$8k + b = 10$得：$8×2 + b = 10$，$16 + b = 10$，解得$b=-6$。
所以$y_1$与$x$的函数解析式为$y_1 = 2x-6$。
2. （2）
当$x = 13$时：
$y_1 = 2×13-6=20$，$y_2=-13 + 33 = 20$。
所以$y_1=y_2$。
3. （3）
因为$v=y_1 + y_2=(2x - 6)+(-x + 33)=x + 27$。
当$y_1\geq y_2$时，$2x-6\geq -x + 33$，$2x+x\geq33 + 6$，$3x\geq39$，解得$x\geq13$。
此时$y = y_1$，由$y\geq\frac{2}{3}v$得$2x-6\geq\frac{2}{3}(x + 27)$。
去括号得$2x-6\geq\frac{2}{3}x+18$。
移项得$2x-\frac{2}{3}x\geq18 + 6$。
合并同类项得$\frac{4}{3}x\geq24$，解得$x\geq18$。
当$y_1\lt y_2$时，$2x-6\lt -x + 33$，$2x+x\lt33 + 6$，$3x\lt39$，解得$x\lt13$。
此时$y = y_2$，由$y\geq\frac{2}{3}v$得$-x + 33\geq\frac{2}{3}(x + 27)$。
去括号得$-x + 33\geq\frac{2}{3}x+18$。
移项得$-x-\frac{2}{3}x\geq18 - 33$。
合并同类项得$-\frac{5}{3}x\geq - 15$，解得$x\leq9$。
所以当$8\leq x\leq9$时，$y_2\geq\frac{2}{3}v$，设置可变车道行车方向为自东向西；当$18\leq x\leq20$时，$y_1\geq\frac{2}{3}v$，设置可变车道行车方向为自西向东。