《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

例1 作一条线段等于已知线段
已知：线段 $a$，
求作：$OA = a$(根据作法使用直尺和圆规作图)。
作法：(1)作射线 $OP$；
(2)以点 $O$ 为圆心，①a为半径作弧，交 $OP$ 于点 $A$，$OA$ 即为所求作的线段。
这种作一条线段等于已知线段的作图依据是②圆上的点到圆心的距离等于半径。

答案：
例1　解:①a;②圆上的点到圆心的距离等于半径;
作图如解图所示:

例2 作一个角等于已知角
已知：$\angle \alpha$，
求作：$\angle AO'B = \angle \alpha$(根据作法使用直尺和圆规作图)。
作法：(1)在 $\angle \alpha$ 上以点 $O$ 为圆心，以适当的长为半径作弧，交 $\angle \alpha$ 的两边于点 $P$，$Q$(点 $P$ 在点 $Q$ 下方)；
(2)作射线 $O'A$；
(3)以点 $O'$ 为圆心，①OP(或OQ)长为半径作弧，交 $O'A$ 于点 $M$，可得到 $O'M = OP$；
(4)以点 $M$ 为圆心，②PQ长为半径作弧，与前弧相交于点 $N$；
(5)过点 $N$ 作射线 $O'B$，$\angle AO'B$ 即为所求作的角。

请证明 $\angle AO'B = \angle \alpha$，并说明依据。

答案：
例2　解:①OP(或OQ);②PQ;作图如解图所示:

证明略
依据:三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等.
题后反思
平行四边形，作法不唯一.

例3 作已知角的平分线

 
(1)请填空并说明理由；
(2)证明 $\angle BOP = \angle AOP$，并说明依据。

答案：
1. （1）
填空：大于$\frac{1}{2}MN$。
理由：根据三角形三边关系，当分别以$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧时，两弧才能相交于一点（若半径等于$\frac{1}{2}MN$，两弧相切；若半径小于$\frac{1}{2}MN$，两弧无交点）。
2. （2）
解（证明）：
连接$MP$，$NP$。
在$\triangle OMP$和$\triangle ONP$中，
由作法可知$OM = ON$（以$O$为圆心作弧得到），$MP = NP$（分别以$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧得到），$OP = OP$（公共边）。
根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，$\triangle OMP\cong\triangle ONP$。
依据全等三角形的对应角相等，所以$\angle BOP=\angle AOP$。
综上，（1）答案为大于$\frac{1}{2}MN$；（2）通过证明$\triangle OMP\cong\triangle ONP(SSS)$，依据全等三角形对应角相等得到$\angle BOP = \angle AOP$。