《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

2. (2020 河北 22 题)如图,点$O$为$AB$中点,分别延长$OA$到点$C$,$OB$到点$D$,使$OC = OD$.以点$O$为圆心,分别以$OA$,$OC$为半径在$CD$上方作两个半圆. 点$P$为小半圆上任一点(不与点$A,B$重合),连接$OP$并延长交大半圆于点$E$,连接$AE$,$CP$.
(1)①求证:$\triangle AOE\cong\triangle POC$;
②写出$\angle 1$,$\angle 2$和$\angle C$三者间的数量关系,并说明理由;
(2)若$OC = 2OA = 2$,当$\angle C$最大时,直接指出$CP$与小半圆的位置关系,并求此时$S_{扇形EOD}$(答案保留$\pi$).

答案： 1. （1）①
证明：
已知点$O$为$AB$中点，则$OA = OB$，又因为$OC = OD$，且$OE = OC$，$OP = OA$（半径），所以$OE = OC$，$OA = OP$。
由对顶角相等，可得$\angle AOE=\angle POC$。
在$\triangle AOE$和$\triangle POC$中，$\begin{cases}OA = OP\\\angle AOE=\angle POC\\OE = OC\end{cases}$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle AOE\cong\triangle POC$。
②
数量关系：$\angle 1+\angle C=\angle 2$。
理由：
因为$\triangle AOE\cong\triangle POC$，所以$\angle E=\angle C$。
又因为$\angle 1+\angle E=\angle 2$（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，$\angle 2$是$\triangle AOE$的外角），所以$\angle 1+\angle C=\angle 2$。
2. （2）
当$\angle C$最大时，$CP$与小半圆相切。
因为$OC = 2OA = 2$，所以$OA = 1$，$OC = 2$。
当$CP$与小半圆相切时，$OP\perp CP$。
在$Rt\triangle OPC$中，$\sin C=\frac{OP}{OC}$，$OP = OA = 1$，$OC = 2$，所以$\sin C=\frac{1}{2}$，则$\angle C = 30^{\circ}$。
因为$\triangle AOE\cong\triangle POC$，所以$\angle E=\angle C = 30^{\circ}$，$\angle EOD = 180^{\circ}-\angle AOE$。
又因为$\angle AOE=\angle POC = 60^{\circ}$（$\triangle OPC$中，$\angle POC = 60^{\circ}$），所以$\angle EOD = 120^{\circ}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$是圆心角，$r$是半径），这里$n = 120^{\circ}$，$r = OC = 2$。
则$S_{扇形EOD}=\frac{120\pi×2^{2}}{360}=\frac{4\pi}{3}$。
综上，（1）①证明见上述过程；②$\angle 1+\angle C=\angle 2$；（2）$CP$与小半圆相切，$S_{扇形EOD}=\frac{4\pi}{3}$。

3. (2023 河北 24 题)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以$AB$为直径的半圆$O$,$AB = 50\ cm$,如图①和图②所示,$MN$为水面截线,$GH$为台面截线,$MN// GH$.
计算 在图①中,已知$MN = 48\ cm$,作$OC\perp MN$于点$C$.
(1)求$OC$的长;
操作 将图①中的水槽沿$GH$向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当$\angle ANM = 30^{\circ}$时停止滚动,如图②. 其中,半圆的中点为$Q$,$GH$与半圆的切点为$E$,连接$OE$交$MN$于点$D$.
探究 在图②中.
(2)操作后水面高度下降了多少;
(3)连接$OQ$并延长交$GH$于点$F$,求线段$EF$与$\overset{\frown}{EQ}$的长度,并比较大小.

答案： 3.
(1)OC的长为7cm;
(2)操作后水面高度下降了5.5cm;
(3)EQ的长=25π/6,EF=25√3/3,EQ的长＜EF的长。