《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

1. (北师九下复习题改编)如图,$AB$为$\odot O$的直径,延长$AB$至点$C$,使$AC = 3BC$,过$C$作$\odot O$的切线$CD$,切点为$D$,若$\odot O$的半径为$2$,则线段$CD$的长为(B)

A.$2$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4$

答案： 1.B

2. (人教九上习题改编)如图,$PA,PB$是$\odot O$的切线,$A,B$为切点,$AC$是$\odot O$的直径,$\angle BAC = 25.5^{\circ}$,则$\angle P$的度数为(B)

A.$52^{\circ}$
B.$51^{\circ}$
C.$61^{\circ}$
D.$64.5^{\circ}$

答案： 2.B

3. (人教九上例题改编)如图,若等边$\triangle ABC$的内切圆$\odot O$的半径为$2$,则$\triangle ABC$的边长为(C)

A.$2\sqrt{3}$
B.$4$
C.$4\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$

答案： 3.C

4. (人教九上例题改编)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 46^{\circ}$,$\angle ACB = 84^{\circ}$,$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆,连接$OB$,$OC$,则$\angle BOC$的度数为(C)

A.$105^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$115^{\circ}$
D.$125^{\circ}$

答案： 4.C

5. 如图,在平面直角坐标系中,过格点$A,B,C$作一圆弧,点$B$与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是(B)

A.点$(0,3)$
B.点$(1,3)$
C.点$(6,0)$
D.点$(6,1)$

答案： 5.B

6. (人教九上习题改编)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 6$,$BC = 8$,$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆,则$\odot O$的半径为2.

答案： 6.2

命题点 1 与切线有关的证明与计算(10年9考)
1. (2021 河北 24 题)如图①,$\odot O$的半径为$6$,将该圆周$12$等分后得到表盘模型,其中整钟点为$A_n$($n$为$1\sim12$的整数),过点$A_7$作$\odot O$的切线交$A_1A_{11}$延长线于点$P$.
(1)通过计算比较直径和劣弧$\overset{\frown}{A_7A_{11}}$长度哪个更长;
(2)连接$A_7A_{11}$,则$A_7A_{11}$和$PA_1$有什么特殊位置关系? 请简要说明理由;
(3)求切线长$PA_7$的值;
(4)如图②,连接$A_3A_{11}$,$A_3A_9$并延长交$PA_7$于点$Q$,试判断四边形$A_{11}PQA_3$的形状,并求$QA_3$的长.

答案： 1.
(1)劣弧A₇A₁₁更长,计算略;
(2)A₇A₁₁⊥PA₁,理由略;
(3)PA₇=12√3;
变式拓展
(4)四边形A₁₁PQA₁是平行四边形,QA₇=18。