《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

例4 作线段的垂直平分线
已知：线段 $AB$，
求作：线段 $AB$ 的垂直平分线(根据作法使用直尺和圆规作图)。
作法：(1)分别以点 $A$，$B$ 为圆心，①大于$\frac{1}{2}$AB的长为半径，在 $AB$ 两侧作弧，两弧交于 $M$，$N$ 两点(点 $M$ 在 $AB$ 上方)；
(2)连接两弧交点 $M$，$N$ 所成直线 $l$ 即为所求作的垂直平分线。
(1)请填空并说明理由；
(2)请证明直线 $l$ 垂直平分线段 $AB$，并说明依据。

答案：
$(1)$ 填空及理由
①处应填“大于$\frac{1}{2}AB$”。
理由：若以小于或等于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧可能不会相交（当半径等于$\frac{1}{2}AB$时，两弧在$AB$的中点处相切；当半径小于$\frac{1}{2}AB$时，两弧无交点），只有以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，才能保证两弧在$AB$两侧有交点$M$，$N$。
$(2)$ 证明直线$l$垂直平分线段$AB$
解（证明）：
连接$AM$，$AN$，$BM$，$BN$。
因为分别以点$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于$M$，$N$两点，所以$AM = AN$，$BM = BN$。
在$\triangle AMN$和$\triangle BMN$中：
$\begin{cases}AM = AN\\BM = BN\\MN = MN\end{cases}$
根据“边边边”（$SSS$）全等判定定理，可得$\triangle AMN\cong\triangle BMN$。
所以$\angle AMN=\angle BMN$（全等三角形对应角相等）。
在$\triangle AMO$和$\triangle BMO$中（设$MN$与$AB$交于点$O$）：
$\begin{cases}AM = BM\\\angle AMO=\angle BMO\\MO = MO\end{cases}$
根据“边角边”（$SAS$）全等判定定理，可得$\triangle AMO\cong\triangle BMO$。
所以$AO = BO$（全等三角形对应边相等），$\angle AOM=\angle BOM$。
又因为$\angle AOM+\angle BOM = 180^{\circ}$，所以$\angle AOM=\angle BOM = 90^{\circ}$，即$MN\perp AB$。
依据是：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（因为$AM = AN$，$BM = BN$，所以$M$，$N$在线段$AB$的垂直平分线上，两点确定一条直线，所以直线$l$（即$MN$）是线段$AB$的垂直平分线）。
综上，直线$l$垂直平分线段$AB$。

例5 过直线上一点作已知直线的垂线
已知：直线 $l$ 及直线 $l$ 上一点 $P$，
求作：直线 $PN$，使得 $PN \perp l$(根据作法使用直尺和圆规作图)。
作法：(1)以点 $P$ 为圆心，任意长为半径向点 $P$ 两侧作弧，交直线 $l$ 于点 $A$ 和点 $B$，可得到 $PA = PB$；
(2)分别以点 $A$，$B$ 为圆心，①大于$\frac{1}{2}$AB长为半径在直线上方作弧，两弧交于点 $N$；
(3)连接 $PN$，则直线 $PN$ 即为所求作的垂线。
(1)请填空并说明理由；
(2)请证明 $PN \perp AB$，并说明依据。

答案：
$(1)$ 填空及理由
- ①处应填“大于$\frac{1}{2}AB$”。
理由：根据三角形三边关系，当分别以$A$、$B$为圆心作弧时，半径大于$\frac{1}{2}AB$，两弧才能相交于一点$N$（若半径等于$\frac{1}{2}AB$，两弧相切；若半径小于$\frac{1}{2}AB$，两弧无交点）。
$(2)$ 证明$PN\perp AB$
解（证明）：
连接$AN$、$BN$。
由作法可知$PA = PB$，$AN=BN$。
在$\triangle PAN$和$\triangle PBN$中：
$\begin{cases}PA = PB\\AN = BN\\PN = PN\end{cases}$
所以$\triangle PAN\cong\triangle PBN$（$SSS$，边边边全等判定定理）。
则$\angle APN=\angle BPN$（全等三角形对应角相等）。
又因为$\angle APN+\angle BPN = 180^{\circ}$（邻补角定义），
所以$\angle APN=\angle BPN = 90^{\circ}$，即$PN\perp AB$（垂直的定义）。
依据：$SSS$全等判定定理、全等三角形对应角相等、邻补角定义、垂直的定义。

例6 过直线外一点作已知直线的垂线
已知：直线 $l$ 及直线 $l$ 外一点 $P$，
求作：直线 $PN$，使得 $PN \perp l$（根据作法使用直尺和圆规作图）。
作法：(1)在直线 $l$ 另一侧取点 $M$；
(2)以点 $P$ 为圆心，①PM长为半径作弧，交直线 $l$ 于点 $A$ 和点 $B$(点 $A$ 在点 $B$ 左侧)；
(3)分别以点 $A$，$B$ 为圆心，②大于$\frac{1}{2}$AB长为半径作弧，交点 $M$ 同侧于点 $N$；
(4)连接 $PN$，则直线 $PN$ 即为所求作的垂线。
(1)请填空并说明理由；
(2)请证明 $PN \perp AB$，并说明依据。

答案：
$(1)$ 填空及理由
- ① $PM$；理由：这样作弧可以保证点$A$、$B$到点$P$的距离相等，即$PA = PB$（圆的半径相等）。
② 大于$\frac{1}{2}AB$；理由：只有当半径大于$\frac{1}{2}AB$时，分别以$A$、$B$为圆心作的弧才能相交于一点$N$，从而保证后续能作出符合要求的直线$PN$。
$(2)$ 证明 $PN\perp AB$
解（证明）：
连接$PA$、$PB$、$NA$、$NB$。
由作法可知$PA = PB$（以点$P$为圆心，$PM$长为半径作弧，$PA$、$PB$为半径），$NA = NB$（分别以点$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径作弧，$NA$、$NB$为半径）。
所以点$P$在线段$AB$的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因为$PA = PB$），点$N$在线段$AB$的垂直平分线上（同理，因为$NA = NB$）。
根据“两点确定一条直线”，所以直线$PN$是线段$AB$的垂直平分线，即$PN\perp AB$（垂直平分线的定义）。