《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

直角三角形的性质与判定(10 年 11 考)
例 2 一题多设问 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle A = 90^{\circ},AB = AC = 5\sqrt{2}$,点 $D$ 为 $AB$ 边上一点,$AD = 2\sqrt{2}$,点 $P$ 为 $BC$ 边上一点,连接 $DP$,将 $DP$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $DQ$,连接 $PQ,CD$.
(1)求 $\sin\angle ACD$ 的值;
(2)当 $\triangle BPD$ 为等腰直角三角形时,点 $P$ 的位置是否唯一? 求出 $DP$ 的长;
(3)当 $\angle BPD = 30^{\circ}$ 时,求 $BP$ 的长;
(4)连接 $BQ$,若 $\triangle BDQ$ 的面积为 3,求 $\tan\angle BDQ$ 的值.

答案： 例2
(1)$\sin\angle ACD = \frac{2\sqrt{29}}{29}$;
(2)不唯一,$DP$的长为3或$3\sqrt{2}$;
(3)$BP = 3 + 3\sqrt{3}$;
(4)$\tan\angle BDQ$的值为$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{2}$