《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

2. 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB = AD，∠B = ∠D，BC = DE. 边 AD 与边 BC 交于点 P (不与点 B，C 重合).
(1)若∠B = 30°，∠APC = 70°，求∠CAE 的度数；
(2)当 AB⊥AC，AB = 4，AC = 3 时，设 AP = x，请用含 x 的式子表示 PD，并写出 PD 的最大值。

答案： 2.
(1)$\angle CAE = 4 0 ^ { \circ } $;
(2)$PD = 4 - x$,$PD$的最大值为$1.6$.

3. 把两个等腰直角△ABC 和△ADE 按如图①所示的位置摆放，∠A = 90°，将△ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转，如图②，连接 BD，EC，设旋转角为 α (0° ＜ α ＜ 360°).
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)如图③，若点 D 在线段 BE 上，且 BC = 13，DE = 7，求 CE 的长；
(3)当△ABD 的面积最大时，求旋转角 α 的值。

答案： 1. （1）证明：
因为$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等腰直角三角形，$\angle BAC=\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$AB = AC$，$AD = AE$。
又因为$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD$，$\angle CAE=\angle DAE+\angle CAD$，所以$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle BAD$和$\triangle CAE$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAE\\AD = AE\end{cases}$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle BAD\cong\triangle CAE$。
2. （2）解：
因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$BC = 13$，根据等腰直角三角形三边关系$BC=\sqrt{2}AB$（设$AB = AC=x$，由勾股定理$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=2AB^{2}$），则$AB = AC=\frac{13}{\sqrt{2}}=\frac{13\sqrt{2}}{2}$。
因为$\triangle ADE$是等腰直角三角形，$DE = 7$，根据等腰直角三角形三边关系$DE=\sqrt{2}AD$（设$AD = AE = y$，由勾股定理$DE^{2}=AD^{2}+AE^{2}=2AD^{2}$），则$AD = AE=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$。
因为$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$BD = CE$。
又因为$\angle ADE=\angle AED = 45^{\circ}$，点$D$在线段$BE$上，所以$\angle AEB=\angle AED+\angle BED$，$\angle ADB = 180^{\circ}-\angle ADE=135^{\circ}$。
由$\triangle BAD\cong\triangle CAE$得$\angle AEC=\angle ADB = 135^{\circ}$，$BE=BD + DE=CE + DE$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB = AC=\frac{13\sqrt{2}}{2}$，在$Rt\triangle ADE$中，$AD = AE=\frac{7\sqrt{2}}{2}$。
根据勾股定理$BE=\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}$（$\angle BAE=\angle BAC+\angle CAE=\angle BAC+\angle BAD = 90^{\circ}$），$BE=\sqrt{(\frac{13\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{7\sqrt{2}}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{338 + 98}{4}}=\sqrt{\frac{436}{4}}=\sqrt{109}$。
因为$BE=BD + DE$且$BD = CE$，$DE = 7$，所以$CE=BE - DE$。
又因为$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，$AB = AC$，$AD = AE$，$\angle BAC=\angle DAE = 90^{\circ}$，$BE=\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}$，$AB=\frac{13\sqrt{2}}{2}$，$AE=\frac{7\sqrt{2}}{2}$，$BE=\sqrt{(\frac{13\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{7\sqrt{2}}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{338+98}{4}}=\sqrt{109}$，$CE=BE - DE$，$DE = 7$，$CE=\sqrt{(\frac{13\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{7\sqrt{2}}{2})^{2}}-7=\sqrt{\frac{338 + 98}{4}}-7=\sqrt{109}-7$。
另一种方法：
因为$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$CE = BD$。
因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$BC = 13$，所以$AB = AC=\frac{13}{\sqrt{2}}$，$\triangle ADE$是等腰直角三角形，$DE = 7$，所以$AD = AE=\frac{7}{\sqrt{2}}$。
因为$\angle BAC=\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$\angle BAE=\angle BAC+\angle CAE=\angle BAC+\angle BAD = 90^{\circ}$。
根据勾股定理$BE=\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}=\sqrt{(\frac{13}{\sqrt{2}})^{2}+(\frac{7}{\sqrt{2}})^{2}}=\sqrt{\frac{169 + 49}{2}}=\sqrt{\frac{218}{2}}=\sqrt{109}$。
又因为$BE=BD + DE$，所以$BD=BE - DE$，$CE=BE - DE$，$CE=\sqrt{109}-7$。
3. （3）解：
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB· AD\sin\alpha$（$\alpha$为$AB$与$AD$的夹角）。
因为$AB$，$AD$为定值（由等腰直角三角形$\triangle ABC$和$\triangle ADE$的边长确定）。
当$\sin\alpha = 1$时，$S_{\triangle ABD}$最大。
因为$0^{\circ}\lt\alpha\lt360^{\circ}$，$\sin\alpha = 1$时，$\alpha = 90^{\circ}$或$\alpha = 270^{\circ}$。
综上，（1）已证$\triangle BAD\cong\triangle CAE$；（2）$CE=\sqrt{109}-7$；（3）$\alpha = 90^{\circ}$或$\alpha = 270^{\circ}$。